উৎপাদক বিশ্লেষণ

x² + cx + d বহুপদটোৰ a + b = c আৰু ab = d,ক (x + a)(x + b).আকাৰত উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰিব পাৰি

উৎপাদক বিশ্লেষণ হৈছে উৎপাদক নিৰ্ণয়ৰ এক পদ্ধতি। গণিতত উৎপাদক বিশ্লেষণ বা উৎপাদকীকৰণ বুলিলে এটা সংখ্যা বা কোনো গাণিতিক বস্তুক বিভিন্ন উৎপাদকৰ গুণফল ৰূপে প্ৰকাশ কৰাকে বুজায়। অৰ্থাৎ এই উৎপাদক হৈছে সৰলতম বা ক্ষুদ্ৰতম ৰূপ। উদাহৰণস্বৰূপে, পূৰ্ণ সংখ্যা $১৫$ ৰ বিশ্লেষিত ৰূপ $৩ \times ৫$ , আৰু $x 2 - 4$ বহুপদৰ এটা বিশ্লেষিত ৰূপ $(x - 2)(x + 2)$ । সাধাৰণতে বাস্তব বা জটিল সংখ্যাৰ ভগ্নাংশক উৎপাদক হিচাপে গ্ৰহণ কৰা মূলত অৰ্থহীন, যিহেতু স্পষ্টতকৈ যিকোনো $x$ ক $(xy)\times (1/y)$ হিচাপে লিখা হয়, য'ত $y\neq 0$ । তেন্তে যিকোনো পৰিমেয় সংখ্যা বা পৰিমেয় ফলনৰ লঘিষ্ঠ ৰূপৰ হৰ আৰু লবৰ পৃথকে পৃথকে উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰি মূল সংখ্যাটোৰ বা ফলনটোৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা হয়। গণিতৰ জগতখনত এটা অখণ্ড সংখ্যা x-ক আন এটা অখণ্ড সংখ্যা y-ৰ উৎপাদক বুলি কোৱা হয় যদিহে x সংখ্যাটোৰে y-ক কোনো ভাগশেষ নথকাকৈ হৰণ কৰিব পাৰি বা, x-ৰ লগত আন কোনো এটা সংখ্যা পূৰণ কৰিলে y পোৱা যায়।

পূৰ্ণসংখ্যাৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ সৰ্বপ্ৰথম প্ৰাচীন গ্ৰীক গণিতবিদ সকলৰ মাজত দেখা যায়। তেওঁলোকেই সৰ্বপ্ৰথম পাটিগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্য প্ৰমাণ কৰিছিল, সেই অনুসৰিঃ প্ৰতিটো ধনাত্মক পূৰ্ণ সংখ্যাক এক বা একাধিক মৌলিক সংখ্যাৰ গুণফল ৰূপে প্ৰকাশ কৰিব পৰা যাব, যি সমূহ পুনৰ ১ত কৈ ডাঙৰ কোন পূৰ্ণ সংখ্যাৰ গুণফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰা সম্ভব নহয়।

বহুপদী উৎপাদক বিশ্লেষণ প্ৰক্ৰিয়াটোৱো বহু শতিকা ধৰি ব্যৱহাৰ হৈ আহিছে। প্ৰাথমিক বীজগণিতে কোন বহুপদৰ উৎপাদক বিশ্লেষণৰ সমীকৰণৰ মূল নিৰ্ণয়ৰ সমস্যাৰ বহুখিনি লাঘৱ কৰে। ফিল্ড অথবা পূৰ্ণসংখ্যা সহগবিশিষ্ট বহুপদ সমূহে অনন্য উৎপাদক বিশ্লেষণ নিয়ম ধাৰণ কৰে। সুনিৰ্দিষ্টভাবে, জটিল সহগ আৰু এটা চলকবিশিষ্ট বহুপদৰ উৎপাদক সমূহে (ক্ৰমক উপেক্ষা কৰে) ৰৈখিক বহুপদৰ ক্ষেত্ৰত এক অনন্য নিয়ম মানি চলে আৰু ই হৈছে বীজগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্যৰ এটি সংস্কৰণ। সেই ক্ষেত্ৰত মূল অনুসন্ধানী বিধি(Root finding algorithm) সমূহ ব্যবহাৰ কৰি উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা হয়। কম্পিউটাৰ বীজগণিতৰ ক্ষেত্ৰত পূৰ্ণসাংখ্যিক সহগবিশিষ্ট বহুপদৰ উৎপাদক বিশ্লেষণৰ ক্ষেত্ৰটি মৌলিক। নিৰ্দিষ্ট ক্ষেত্ৰ এখনত পৰিমেয় সহগবিশিষ্ট বহুপদ সমূহৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰাৰ অধিক সত্য আৰু সঠিক কম্পিউটাৰ বিধি আছে।

উৎপাদকে বিশ্লেষণে কোনো গাণিতিক বস্তুক ক্ষুদ্ৰতম অথবা সৰলতম বস্তুৰ গুণফল ৰূপে প্ৰকাশ কৰাকে বুজায়। উদাহৰণ স্বৰূপে প্ৰত্যেক ফলনক এক একক ফলন আৰু এক সাৰ্বিক ফলনৰ মিশ্ৰ ফলন ৰূপে লিখা যায়। মেট্ৰিস্কে অনেক ম্যাট্ৰিস্ক উৎপাদক বিশ্লেষণৰ পদ্ধতি তথা বৈশিষ্ট্য ধাৰণ কৰে।

অখণ্ড সংখ্যা[সম্পাদনা কৰক]

পাটিগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্য অনুযায়ী ১তকৈ ডাঙৰ সকলো পূৰ্ণ সংখ্যাৰ এক অনন্য (উৎপাদক সমূহৰ ক্ৰম বিবেচনা নকৰাকৈ) মৌলিক সংখ্যাৰ বিশ্লেষিত ৰূপ আছে, যিটো পুনৰ বিশ্লেষণ সম্ভৱ নহয়।

অখণ্ড সংখ্যা $n$ ৰ উৎপাদক বিশ্লেষণৰ বাবে ইয়াৰ এক উৎপাদক $q$ নিৰ্ণয় কিম্বা $n$ ক মৌলিক বুলি নিৰ্ণয়ৰ বাবে এটা বিধিৰ প্ৰয়োজন। যেতিয়া এটা উৎপাদক পোৱা যাব, তেতিয়া বিধিটো পুনৰায় $q$ আৰু $n / q$ ৰ ওপৰত প্ৰয়োগৰ মাধ্যমেৰে ক্ৰমান্বয়ে $n$ ৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা সম্ভৱ।^[1]

$n$ ৰ এটা উৎপাদক $q$ , যদি থাকে, তেন্তে ইয়াক নিৰ্ণয়ৰ বাবে $q$ ৰ সকলো সম্ভাৱ্য মান পৰীক্ষা কৰা প্ৰয়োজন। যাতে $1 < q$ বা $q 2 \leq n$ হয়। প্ৰকৃতপক্ষে, যদি $r$ $n$ ৰ এটি উৎপাদক হয় য'ত $r 2 > n$ , তেন্তে $q = n / r$ আৰু $n$ এটা উৎপাদক হ'ব যেতিয়া $q 2 \leq n$

যদি ক্ৰমবৰ্ধমান হাৰত $q$ ৰ মান পৰীক্ষা কৰি থকা হয়, তেন্তে প্ৰথমেই প্ৰাপ্ত উৎপাদকটো মৌলিক সংখ্যা হোৱা উচিত আৰু সহগুণক $r = n / q$ ৰ $q$ তকৈ সৰু আন কোনো উৎপাদক থাকিব নোৱাৰে। সম্পূৰ্ণ বিশ্লেষিত ৰূপ পোৱাৰ বাবে $r$ ৰ, $q$ তকৈ সৰু আৰু $\sqrt r$ তকৈ ডাঙৰ উৎপাদক নিৰ্ণয় কৰিব লাগিব।

এই পদ্ধতি প্ৰয়োগৰ বাবে $q$ ৰ সকলো মান পৰীক্ষা কৰাৰ প্ৰয়োজন নাই। মূলনীতি অনুযায়ী, ই কেৱলমাত্ৰ মৌলিক উৎপাদকসমূহকেই গ্ৰহণ কৰে। ইয়াৰ বাবে মৌলিক সংখ্যাৰ এখন তালিকাৰ প্ৰয়োজন হয় যি ইৰাটোস্থিনিছৰ ছাঁকনিৰ মাধ্যমেৰে প্ৰস্তুত কৰা সম্ভৱ। যিহেতু উৎপাদক বিশ্লেষণৰ এই পদ্ধতিটো ইৰাটোস্থিনিছৰ ছাঁকনিৰ দৰে একেই কাম কৰে, গতিকে সংখ্যা সমূহ মৌলিক হয়নে নহয় তাক পৰীক্ষা কৰাৰ মাধ্যমেৰে সঠিক ৰূপত কামটো সম্পন্ন কৰিব পাৰি। অৰ্থাৎ, কোনোৱে যদি ২,৩, ৫ বা ৫তকৈ ক্ষুদ্ৰতম সংখ্যা, যি সমূহৰ শেষৰ অংকটো ১,৩,৭,৯ বা অংক সমূহৰ সমষ্টি ৩ৰ গুণিতক নহয়। এনে সংখ্যাৰ দ্বাৰা পৰীক্ষা কৰিব পাৰি।

এই পদ্ধতিটোৱে সৰু কোন সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত সঠিক মান নিৰ্ণয় কৰিলেও ডাঙৰ সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত সঠিক মান নিৰ্ণয় কৰিব নোৱাৰিও পাৰে। উদাহৰণ স্বৰূপে:

1+2^{2^{5}}=1+2^{32}=4\,294\,967\,297

, ই মৌলিক সংখ্যা নহয় - এইটো নিৰ্ণয় কৰা সম্ভৱ নহয়। প্ৰকৃতপক্ষে যিসমূহ সংখ্যাত ১০টা অংক আছে সেই সমূহৰ ক্ষেত্ৰত উপৰোক্ত পদ্ধতি প্ৰয়োগৰ বাবে সংখ্যক দশমিক অংকৰ প্ৰয়োজন হ'ব।

উদাহৰণ[সম্পাদনা কৰক]

মৌলিক সংখ্যাৰ সাহায়ত $n = ১৩৮৬$ ক বিশ্লেষণৰ বাবে:

প্ৰথমে ২ ৰে হৰণ কৰি : ই এটা যুগ্ম সংখ্যা এতিয়া $n = ২ \cdot ৬৯৩$ । দশমিকৰ পিছৰ ৬৯৩ অংশটোৰ পুনঃ বিশ্লেষণৰ বাবে আগবাঢ়ি গৈ থাকিব লাগিব আৰু ইয়াত ২ হ'ব প্ৰথমটো উৎপাদক
৬৯৩ এটা অযুগ্ম সংখ্যা (২ৰ উৎপাদক নহয়); কিন্তু ৩ৰ দ্বাৰা বিভাজ্য: ফলাফল হ'ব $৬৯৩ = ৩ \cdot ২৩১$ আৰু $n = ২ \cdot ৩ \cdot ২৩১$ । ২৩১ৰে পুনৰ আগবাঢ়ি গৈ থাকিব লাগিব আৰু ইয়াত ৩ হ'ব আন এটা উৎপাদক।
২৩১, ৩ৰ গুণিতক: ফলাফল $২৩১ = ৩ \cdot ৭৭$ , গতিকে $n = ২ \cdot ৩ ২ \cdot ৭৭$ । ৭৭ ৰে পুনৰ আগবাঢ়িব লাগিব আৰু ইয়াত প্ৰাপ্ত উৎপাদকটো হ'ব ৩।
৭৭ৰ অংক দুটাৰ সমষ্টি ১৪ যি ৩ৰে বিভাজ্য নহয় আনহাতে ৭৭ৰো ৩ৰে বিভাজ্য নহয়। ইয়াত একক স্থানৰ অঙ্ক ৭ হোৱা বাবে ই ৫ৰ দ্বাৰাও বিভাজ্য নহয়। পৰৱৰ্তী পৰীক্ষণীয় অযুগ্ম মৌলিক উৎপাদক হ'ল ৭। ফলাফল $৭৭ = ৭ \cdot ১১$ , এতিয়া, $n = ২ \cdot ৩ ২ \cdot ৭ \cdot ১১$ . ১১ আৰু ৭ ক পৰৱৰ্তী প্ৰাথমিক উৎপাদক হিচাপে ধৰিলৈ অগ্ৰসৰ হ'ব লাগিব।
যিহেতু $৭ ২ > ১১$ , আৰু ১১ এটি মৌলিক সংখ্যা গতিকে ১১ৰ ১ আৰু ১১ৰ বাদে আন উৎপাদক নাই, গতিকে ১৩৮৬ৰ মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষিত ৰূপটো হ'ব:

১৩৮৬ = ২ \cdot ৩ ২ \cdot ৭ \cdot ১১

ৰাশি[সম্পাদনা কৰক]

বীজগণিতৰ মূলভিত্তি হ'ল বিভিন্ন ৰাশিক ব্যৱস্থাপনা কৰা। বিভিন্ন কাৰণত উৎপাদক বিশ্লেষণ ৰাশি ব্যৱস্থাপনাৰ এক অন্যতম পদ্ধতি। যদি কোনো সমীকৰণক উৎপাদক আকাৰ $E \cdot F = 0$ ত প্ৰকাশ কৰা যায়, তেন্তে সমীকৰণটিৰ সমাধান মূলত দুটি স্বাধীন সমস্যা $E = 0$ আৰু $F = 0$ ৰ সমাধানত বিভক্ত হয়। যেতিয়া কোনো ৰাশিক উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা যায়, তেতিয়া উৎপাদক সমূহ প্ৰায়েই সৰল হয় আৰু সমস্যা সম্পৰ্কে কিছু তথ্য প্ৰদান কৰে। উদাহৰণস্বৰূপে ১৬টা পূৰণ, চাৰিটা বিয়োগ আৰু তিনটি যোগ সংবলিত

x^{3}-ax^{2}-bx^{2}-cx^{2}+abx+acx+bcx-abc

ৰাশিটোক সহজ ভাৱে দুটা পূৰণ আৰু তিনটা বিয়োগ সংবলিত উৎপাদকৰ আকাৰত প্ৰকাশ কৰিব পৰা যায়:

(x-a)(x-b)(x-c)

য'ত, অতি সহজে বিশ্লেষিত ৰূপটিৰ মাধ্যমেৰে ৰাশি সমূহৰ দ্বাৰা গঠিত বহুপদৰ $x$ ৰ সম্ভাৱ্য মূল সমূহ নিৰ্ণয় কৰিব পৰা যাবঃ x = a,b,c।

আনহাতে, উৎপাদক বিশ্লেষণ সকলো ৰাশিৰ ক্ষেত্ৰত সম্ভৱ নহয়, উৎপাদক বিশ্লেষণ সম্ভৱ হোৱা মানেই ৰাশি সমূহক সৰল আকাৰত প্ৰকাশ কৰা সম্ভৱ। উদাহৰণস্বৰূপে, $x^{997}-1$ ক দুটা মৌলিক উৎপাদক $x-1$ আৰু $x^{996}+x^{995}+\cdots +x^{2}+x+1$ ৰ গুণফল আকাৰত প্ৰকাশ কৰা যায়।

উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰাৰ বাবে অনেক পদ্ধতি আৱিষ্কাৰ হৈছে।

বীজগাণিতিক সমীকৰণৰ সমাধানক উৎপাদক বিশ্লেষণৰ সমস্যাৰূপে দেখা যাব পাৰে। প্ৰকৃতপক্ষে বীজগণিতৰ মৌলিক উপপাদ্যক নিম্নোক্তভাৱে বৰ্ণনা কৰিব পাৰি

$n$ ঘাত আৰু জটিল সহগবিশিষ্ট যিকোনো, $x$ ৰ বহুপদক $n$ সংখ্যক ৰৈখিক উৎপাদক ( $i = 1, ..., n$ ৰ ক্ষেত্ৰত) $x-a_{i}$ ৰূপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি। য'ত $a_{i}$ হ'ল বহুপদটিৰ মূল।^[2]

আবেল-ৰুফিনি উপপাদ্য অনুসাৰি, যদি এই ক্ষেত্ৰত উৎপাদকে বিশ্লেষণৰ গাঁথনিটো জানাও থাকে, তেতিয়াও সাধাৰণভাৱে n^তম মূলৰ সাপেক্ষে $a i$ সমূহ নিৰ্ণয় কৰা সম্ভৱ নহয়। বেছিভাগ সময়তেই, সৰ্বোত্তম উপায় হ'ল মূল অনুসন্ধানী বিধিৰ সহায়ত মূলৰ নিকটতম মানসমূহ নিৰ্ণয় কৰা।

ৰাশিৰ উৎপাদক বিশ্লেষণৰ ইতিহাস[সম্পাদনা কৰক]

ৰাশিক বীজগাণিতিকভাবে সৰলীকৰণ (বিশেষ কৈ সমীকৰণসমূহক) সম্ভৱত নৱম শতাব্দীৰ আল-খাৰিজমিৰ গ্ৰন্থ দ্য কম্পেডিয়াচ বুক অন কেলকুলেছন বাই কমপ্লিটিং এণ্ড বেলেঞ্চিং-ৰ মাধ্যমেৰে আৰম্ভ হয়, য'ত দুইধৰণৰ ব্যৱস্থাপনাৰ কথা উল্লেখ কৰা হৈছে। থমাছ হেৰিৱটৰ কাম তেওঁৰ মৃত্যুৰ দহ বছৰ পিছত ১৬৩১চনত প্ৰকাশিত হোৱাৰ আগলৈকে দ্বিঘাত সমীকৰণ সমাধানৰ বাবে উৎপাদক বিশ্লেষণ পদ্ধতি ব্যৱহৃত হোৱা নাছিল। ^[3]

তেওঁৰ গ্ৰন্থ Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendasৰ প্ৰথম অংশত হেৰিৱটে একপদ, দ্বিপদ, ত্ৰিপদ আৰু বহুপদ সমূহৰ যোগ, বিয়োগ, পূৰণ, হৰণৰ তালিকা অঙ্কন কৰিছিল। তাৰ পিছত, দ্বিতীয় অংশত, তেওঁ এটা সমীকৰণ $aa - ba + ca = + bc$ প্ৰতিষ্ঠা কৰি তাৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ, $(a - b)(a + c)$ ,ৰ মাধ্যমেৰে তেওঁ দেখাইছে যে এই সমীকৰণটি তাৰ প্ৰদত্ত গুণৰ আকাৰৰ সৈতে মিলি যায়।^[4]

সাধাৰণ পদ্ধতি[সম্পাদনা কৰক]

সমষ্টি বা সমষ্টি আকাৰলৈ ৰূপান্তৰৰ বাবে কোনো ৰাশিৰ ক্ষেত্ৰত নিম্নোক্ত পদ্ধতি সমূহ প্ৰয়োগ কৰা যায়। যদিওবা এই পদ্ধতি সমূহ প্ৰায়ে বহুপদৰ ক্ষেত্ৰতহে প্ৰয়োগ কৰা হয়, তথাপি যেতিয়া সমষ্টিৰ পদ সমূহ একপদ নহয় অৰ্থাৎ চলক আৰু ধ্ৰুবকৰ গুণফল আকাৰে থাকে, তেতিয়াও এইসমূহ প্ৰয়োগ কৰিব পাৰি।

সাধাৰণ উৎপাদক[সম্পাদনা কৰক]

কোনো সমষ্টিৰ সকলোবোৰ পদ এটা সাধাৰণ সংখ্যাৰ গুণফল হ'ব পাৰে। এই ক্ষেত্ৰত বিতৰণ বিধি অনুযায়ী এই সাধাৰণ উৎপাদক সমূহ নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি। যদি একাধিক সাধাৰণ উৎপাদক থাকে, তেন্তে বৃহত্তম উৎপাদকটিৰ সহায়ত ভাগ কৰা হয়। আকৌ যদি অখণ্ডসাংখ্যিক সহগ থাকে তেন্তে এইসমূহৰ গৰিষ্ঠ সাধাৰণ উৎপাদক নিৰ্ণয় কৰি উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা যায়। উদাহৰণস্বৰূপে ^[5]

6x^{3}y^{2}+8x^{4}y^{3}-10x^{5}y^{3}=2x^{3}y^{2}(3+4xy-5x^{2}y),

কাৰণ ৬,৮ আৰু ১০ৰ গৰিষ্ঠ সাধাৰণ উৎপাদক ২ আৰু $x^{3}y^{2}$ দ্বাৰা সকলো পদ বিভাজ্য।

দল বিভাজন[সম্পাদনা কৰক]

উৎপাদক বিশ্লেষণৰ অন্য এটি পদ্ধতি হ'ল দল বিভাজন যেনে:

4x^{2}+20x+3xy+15y

ৰাশিটিৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰাৰ সময়ত লক্ষ্য কৰা যায় যে, প্ৰথম দুটি পদৰ সাধাৰণ উৎপাদক $x$ , আৰু শেষ পদদ্বয়ৰ সাধাৰণ উৎপাদক $y$ । ফলাফল

4x^{2}+20x+3xy+15y=(4x^{2}+20x)+(3xy+15y)=4x(x+5)+3y(x+5).

গতিকে পৰ্যবেক্ষণ কৰিলে দেখা যায় যে সাধাৰণ উৎপাদক $x + 5$ , আৰু উৎপাদকত বিশ্লেষিত ৰূপটো হৈছে:

4x^{2}+20x+3xy+15y=(4x+3y)(x+5).

সাধাৰণতে দুটা দ্বিপদৰ গুণফল ৰূপে পোৱা চাৰিটা পদ বিশিষ্ট কোন ৰাশিৰ ক্ষেত্ৰত উপৰোক্ত পদ্ধতিটি প্ৰযোজ্য। সকলো ক্ষেত্ৰতে নহ'লেও ই অনেক জটিল ক্ষেত্ৰটো সমাধান নিৰ্ণয় কৰিব পাৰে।

টোকা[সম্পাদনা কৰক]

↑ Hardy; Wright (1980). An Introduction to the Theory of Numbers (5th সম্পাদনা). Oxford Science Publications. ISBN 978-0198531715. https://archive.org/details/introductiontoth00hard.
↑ Klein 1925, পৃষ্ঠা 101–102
↑ In Sanford, Vera (2008) [1930], A Short History of Mathematics, Read Books, ISBN 9781409727101 , the author notes “In view of the present emphasis given to the solution of quadratic equations by factoring, it is interesting to note that this method was not used until Harriot’s work of 1631".
↑ Harriot, Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas
↑ Fite 1921, পৃষ্ঠা 19

উৎস[সম্পাদনা কৰক]

Burnside, William Snow; Panton, Arthur William (1960), The Theory of Equations with an introduction to the theory of binary algebraic forms (Volume one), Dover
Dickson, Leonard Eugene (1922), First Course in the Theory of Equations, প্ৰকাশক New York: John Wiley & Sons
Fite, William Benjamin (1921), College Algebra (Revised), প্ৰকাশক Boston: D. C. Heath & Co.
Klein, Felix (1925), Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint; Arithmetic, Algebra, Analysis, Dover
Selby, Samuel M., CRC Standard Mathematical Tables (18th সম্পাদনা), The Chemical Rubber Co.

[1] Hardy; Wright (1980). An Introduction to the Theory of Numbers (5th সম্পাদনা). Oxford Science Publications. ISBN 978-0198531715. https://archive.org/details/introductiontoth00hard.

[2] Klein 1925, পৃষ্ঠা 101–102

[3] In Sanford, Vera (2008) [1930], A Short History of Mathematics, Read Books, ISBN 9781409727101 , the author notes “In view of the present emphasis given to the solution of quadratic equations by factoring, it is interesting to note that this method was not used until Harriot’s work of 1631".

[4] Harriot, Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas

[5] Fite 1921, পৃষ্ঠা 19

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]