বীজগণিত

অসমীয়া ৱিকিপিডিয়াৰ পৰা
Jump to navigation Jump to search

বীজগণিত (ইংৰাজী:Algebra) ইংৰাজী Algebra শব্দটো আহিছে আৰবী "আল-জেব্র" শব্দৰ পৰা, যাৰ অৰ্থ হৈছে ভগ্ন অংশৰ পুনৰমিলন। গণিতৰ এটি বৃহৎ শাখা হৈছে এই বীজগণিত। য'ত গাণিতিক সমীকৰণৰ অনিৰ্ধাৰিত সংখ্যাক প্রতীকৰ মাধ্যমেৰে উপস্থাপন কৰা হয়। বীজগণিতত পাটীগণিতৰ মৌলিক উপাদানসমূহ যেনে- যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ, ইত্যাদি প্রক্রিয়া প্রতীকৰ দ্বাৰা নির্দিষ্ট সংখ্যা ব্যবহাৰ নকৰাকৈয়ে সমস্যা সমাধান কৰা যায়। বীজগণিতত অনেক সমস্যা সমাধানত বীজগাণিতিক সূত্র ব্যৱহাৰ হয়। লগতে অনেক বীজগাণিতিক ৰাশি বিশ্লেষণ কৰি উৎপাদকৰ মাধ্যমেৰে উপস্থাপন কৰা হয়। অর্থাৎ, প্রক্রিয়া চিহ্ন আৰু সংখ্যানির্দেশক অক্ষৰ প্রতীকৰ অর্থবোধক বিন্যাসকে বীজগাণিতিক ৰাশি বোলা হয়। দৈনন্দিন জীবনৰ বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যাত বীজগণিতে যথেষ্ট সহায় কৰে। কোনো গাণিতিক সম্পর্কক সাধাৰণ সূত্রৰ আকাৰত পাটীগণিতৰ সহায়ত প্রকাশ কৰা সম্ভৱ নহয়। পাটিগণিতৰ বিপৰীতে বীজগণিতত প্ৰতীকৰ সাহায়ত কোনো গাণিতিক সম্পর্ক এটি সাধাৰণ বিবৃতি আকাৰত প্রকাশ কৰা সম্ভৱ।

বীজগণিতীয় উপাদান সমূহ[সম্পাদনা কৰক]

ধ্ৰুৱক:[সম্পাদনা কৰক]

ধ্ৰৱক মানে হৈছে স্থিৰ। যাৰ কোনো পৰিৱৰ্তন নহয়। বীজগণিতত ধ্ৰুৱক মানে হৈছে সমীকৰণ এটাত থকা সাংখ্যিক মান সমূহ যাৰ কোনো পৰিৱৰ্তন নহয়। যেনে: ১,২,৩,৪...

চলক:[সম্পাদনা কৰক]

চলক হৈছে সমীকৰণ এটাত থকা প্ৰতীকী মান সমূহ, যাৰ বাস্তৱ মান যিকোনো হ'ব পাৰে। ই ধ্ৰুৱকৰ দৰে স্থিৰ নহয়। এই চলক সমূহক বুজাবলৈ সদাৰণতে ইংৰাজী আখৰ x,y,z,m,n ইত্যাদি বোৰ ব্যৱহাৰ কৰা হয়।

সমীকৰণ:[সম্পাদনা কৰক]

সমীকৰণ মানে হৈছে চলক, ধ্ৰুৱক আৰু কিছুমান গাণিতিক চিহ্নৰ দ্বাৰা গঠিত এক বিবৃতি য'ত দুটা গাণিতিক বিন্যাসৰ মান সমান আৰু বিন্যাস দুটাক '=' চিহ্নৰ দ্বাৰা সমান বুলি দেখুৱা হয়। যেনেঃ 2x+3=15।

বীজগণিতীয় এক সমীকৰণ
বীজগণিতীয় এক সমীকৰণ

বীজগণিতীয় ৰাশি আৰু পদ:[সম্পাদনা কৰক]

এটা ৰাশি গঠনৰ পূৰ্বে এটা বা অধিক উৎপাদকৰ দ্বাৰা একো একোটা পদ গঠন কৰা হয় আৰু এই পদ সমূহক বিভিন্ন গাণিতিক চিহ্ন যেনে যোগ, বিয়োগ, পূৰণ, হৰণ ইত্যাদিৰ দ্বাৰা যুক্ত কৰি একোটা ৰাশি তৈয়াৰ কৰা হয়। উদাহৰণ স্বৰূপে এটা বীজগণিতীয় ৰাশি হৈছে 4x-3xy, ইয়াত 4x আৰু -3xy হৈছে দুটা পদ আৰু 4,x,-3,y ইত্যাদিবোৰ উৎপাদক।

বীজগণিতীয় ৰাশিৰ প্ৰকাৰ[সম্পাদনা কৰক]

একপদ ৰাশি:[সম্পাদনা কৰক]

যিবিলাক বীজগণিতীয় ৰাশিত মাত্ৰ এটাই পদ থাকে তেনেবিলাকক একপদ ৰাশি(monomial বা monomial expression)বুলি কোৱা হয়। উদাহৰণ স্বৰূপে 5xy, -3xy, -7, x ইত্যাদি একপদ ৰাশি।

দ্বিপদ ৰাশি:[সম্পাদনা কৰক]

দুটা ভিন্ন পদ থকা ৰাশিক দ্বিপদ ৰাশি(binomial expression) বুলি কোৱা হয়। যেনেঃ xy-7, 3xy+2, p-q আদিবোৰ দ্বিপদ বীজগণিতীয় ৰাশি।

ত্ৰিপদ ৰাশি:[সম্পাদনা কৰক]

এটা বীজগণিতীয় ৰাশিত যদি তিনিটা পদ থাকে তেন্তে সেইটোক ত্ৰিপদ ৰাশি (trinomial expression) বুলি কোৱা হয়। যেনেঃ a+b-1, 6xy-y+3 ইত্যাদিবোৰ ত্ৰিপদ ৰাশি।

বহুপদ ৰাশি:[সম্পাদনা কৰক]

দুটা বা অধিক পদ যুক্ত বীজগণিতীয় ৰাশিবোৰকে বহুপদ ৰাশি(multinomial expression) বুলি কোৱা হয়। ইয়াত দুটা, তিনিটা বা তাতকৈ অধিক পদ থাকিব পাৰে। যেনেঃ x+y+2-z, 2x-2y, 5a+3b ইত্যাদিবোৰ বহুপদ ৰাশি।

সদৃশ পদ আৰু অসদৃশ পদ:[সম্পাদনা কৰক]

যেতিয়া কোনো এটা পদৰ বীজগণিতীয় উৎপাদক বোৰ একে বৈশিষ্ট্যৰ হয় তেতিয়া তেনেবোৰ পদক সদৃশ পদ বুলি কোৱা হ'ব। আনহাতে যিবোৰ পদৰ মাজত বৈশিষ্ট্যৰ সাদৃশ্যতা নাই তেনেবোৰ পদকেই অসদৃশ পদ বুলি কোৱা হ'য়। উদাহৰণ স্বৰূপে এটা ৰাশি 2xy-3x+5xy-4ৰ 2xy আৰু 5xy পদ দুটাৰ বীজগণিতীয় উৎপাদকবোৰ হৈছে- 2, x, y আৰু 5, x, y। এই বীজগণিতীয় উৎপাদকবোৰ একে বৈশিষ্ট্যৰ, গতিকে উক্ত পদ দুটা হ'ব সদৃশ পদ। আনহাতে 3x আৰু 2xy পদ দুটাৰ বীজগণিতীয় উৎপাদক বোৰ বেলেগ বেলেগ। গতিকে ইহঁত অসদৃশ পদ।

সহগ:[সম্পাদনা কৰক]

এটা ৰাশিৰ পদ সমূহৰ সাংখ্যিক উৎপাদকটোকে পদটোৰ সাংখ্যিক সহগ বুলি কোৱা হয়। উদাহৰণ স্বৰূপে 5xy পদটোৰ সহগ হৈছে 5। একেদৰে -x ৰ সহগ হৈছে -1। অৱশ্যে কেতিয়াবা সহগ বুলিলে কেৱল সাংখ্যিক উৎপাদকটোকেই নুবুজাবও পাৰে। এইক্ষেত্ৰত যদি এটা পদ 10xyত, y ৰ সহগ কি বুলি সোধা হয়, তেন্তে উত্তৰ হ'ব 10x। একেদৰে 10x ৰ সহগ হ'ব y।


বীজগণিতীয় ৰাশিৰ যোগ আৰু বিয়োগ প্ৰক্ৰিয়া[সম্পাদনা কৰক]

এযোৰ বা অধিক বীজগণিতীয় ৰাশিৰ যোগ প্ৰক্ৰিয়াত প্ৰথমে সদৃশ পদৰ যোৰ সমূহ একত্ৰিত কৰা হয় আৰু পদ সমূহৰ গাণিতিক সহগ সমূহ যোগ কৰা হয়। এই যোগফলটো পূৰ্বৰ সদৃশ পদ সমূহৰ সৈতে সদৃশ হ'ব। আনহাতে বিসদৃশ পদ সমূহ কোনো পৰিৱৰ্তন নোহোৱাকৈয়ে ৰখা হয়। এই যোগ প্ৰক্ৰিয়াটো দুটা পদ্ধতিৰে কৰা হয়-

ক)অনুভূমিক পদ্ধতি(Horizontal method) আৰু

খ)স্তম্ভ-লেখন পদ্ধতি(Column method)।

এই পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি বীজগণিতীয় ৰাশিৰ যোগ প্ৰক্ৰিয়া দেখুওৱা হ'ল-

অনুভূমিক পদ্ধতি:

দুটা ৰাশি ক্ৰমে 5x² + 7y - 8, আৰু 6 – 5y + 4x² ৰ যোগফল হ'ব-

(5x² + 7y - 8)+(6-5y + 4x²)

=(5x²+4x²)+(7y-5y)-(8+6)

=9x²+2y-2

স্তম্ভ-লেখন পদ্ধতি:

তিনিটা ৰাশি ক্ৰমে 8x² - 5xy + 3y², 2xy - 6y² + 3x² আৰু y² + xy - 6x² ৰ যোগফল হ'ব-

8x² - 5xy + 3y²

3x² - 2xy - 6y²

-6x² +  xy +  y²

_____________

5x² - 2xy - 2y²

  _____________

= 5x² - 2xy - 2y²

বীজগণিতীয় ৰাশিৰ বিয়োগৰ ক্ষেত্ৰটো এই একেই পদ্ধতি অৱলম্বন কৰা হয়।

বীজগণিতীয় শাখা আৰু ক্ষেত্ৰ[সম্পাদনা কৰক]

বৰ্তমান বীজগণিত কেৱল সমীকৰণতে সীমাবদ্ধ হৈ থকা নাই, ইয়াত বহুপদ, অসীম গুণফল, অনুক্ৰম,ৰূপ, সৰণিক আদি বিভিন্ন বিষয়ৰ অন্তৰ্ভূক্তি হৈছে। বীজগণিতক নিম্নলিখিত শ্ৰেণী সমূহত ভাগ কৰিব পৰা যায়-

প্ৰাৰম্ভিক বীজগণিত(Elementary algebra):[সম্পাদনা কৰক]

ই বীজগণিতৰ সৰল স্তৰ। বিদ্যালয়ত ছাত্ৰ-ছাত্ৰীক প্ৰাৰম্ভিক স্তৰৰ বীজগণিত শিকাবৰ বাবে এই অংশটো 'বীজগণিত' শীৰ্ষকৰে পৰিচয় কৰোৱা হয়। এই স্তৰত সমীকৰণ, চলক, ধ্ৰুৱক এই উপাদান সমূহৰে ছাত্ৰ-ছাত্ৰীক চিনাকি কৰাই দিয়া হয়।

বিমূৰ্ত বীজগণিত(Abstract algebra):[সম্পাদনা কৰক]

এই শ্ৰেণীটোক আধুনিক বীজগণিত বুলিও জনা যায়। ইয়াৰ অন্তৰ্গত গ্ৰুপচ্, ৰিংচ্, ফিল্ডচ্ ইত্যাদিবোৰ এই শ্ৰেণীত আলোচনা কৰা হয়।

Picture of a Rubik's Cube
The permutations of Rubik's Cube form a group, a fundamental concept within abstract algebra.

ৰৈখিক বীজগণিত(linear algebra):[সম্পাদনা কৰক]

এই শ্ৰেণীত ৰৈখিক সমীকৰণ সমূহ যেনে: আৰু মেট্ৰিক্স যেনে: , বা সদিশ ৰাশিৰ দ্বাৰা অধ্যয়ণ কৰা হয়। এই ৰৈখিক বীজগণিত, গণিতৰ প্ৰায় সমকলো ক্ষেত্ৰৰে কেন্দ্ৰ স্বৰূপ।

In the three-dimensional Euclidean space, planes represent solutions of linear equations and their intersection represents the set of common solutions: in this case, a unique point

সাৰ্বজনীন বীজগণিত(Universal algebra):[সম্পাদনা কৰক]

ইয়াত সাধাৰণ বীজগণিতীয় গাঁথনি সমূহৰ ওপৰত স্বতন্ত্ৰ ভাৱে অধ্যয়ন কৰা হয়। ইয়াত কোনো উদাহৰণৰ সহায় লোৱা নহয়।

বীজগণিতীয় সংখ্যা সিদ্ধান্ত(Algebraic number theory):[সম্পাদনা কৰক]

ইয়াত বীজগণিতীয় পদ্ধতিৰ সহায়ত সংখ্যা সমূহৰ গুণাগুণ সম্পৰ্কে অধ্যয়ন কৰা হয়।

বীজগণিতীয় জ্যামিতি(Algebraic geometry):[সম্পাদনা কৰক]

এই ক্ষেত্ৰত বীজগণিতীয় জ্যামিতিক সমস্যা সমূহ বিমূৰ্ত বীজগণিতৰ সহায়ত সমাধান কৰা হয়।

বীজগণিতীয় বিন্যাস(Algebraic combination):[সম্পাদনা কৰক]

বিমূৰ্ত বীজগণিতীয় পদ্ধতিৰ সহায়ত বিন্যাসৰ বীজগণিতীয় সমস্যা সমূহৰ সমাধান কৰা হয়।

The Fano matroid, derived from the Fano plane. Matroids are one of many areas studied in algebraic combinatorics.

ইতিহাস[সম্পাদনা কৰক]

বীজগণিতৰ যি ক্ষেত্রত অনিৰ্ণিত সমীকৰণৰ অধ্যয়ন কৰা হয় সেই ক্ষেত্ৰৰ পুৰণি নাম 'কূট্টক'। হিন্দু গণিতজ্ঞ ব্রহ্মগুপ্তই ৬২৮ খ্ৰীষ্টাব্দতে এই বিজ্ঞানৰ নাম কূট্টক গণিত বুলি নামাকৰণ কৰিছিল আৰু ইয়ে বীজগণিতৰ প্রাচীনতম নাম। ৮৬০ খ্ৰীষ্টাব্দত পৃথুদক স্বামীয়ে প্ৰথম বাৰলৈ ইয়াক 'বীজগণিত' নাম দিয়ে। ইয়াত 'বীজ'ৰ অৰ্থ হৈ মানে 'তত্ব'। গতিকে বীজগণিত বুলিলে সেই বিজ্ঞানক বুজা যায় য'ত তত্বৰ দ্বাৰা গণনা কৰা হয়।

গাণিতত সকলো সংকেতৰ মান পৰিচিত। বীজগণিতত ব্যাপক ৰূপত সংকেত সমূহৰ ব্যৱহাৰ হয়। যাৰ মান প্রাথমিকভাৱে অজ্ঞাত হৈ থাকে। সেইহেতু, এই বিজ্ঞানৰ অন্যান্য দুটা প্রাচীন নাম হৈছে 'ব্যক্ত গণিত' আৰু 'অব্যক্ত বা অদৃশ্য গাণিত'। ইংৰাজীত বীজগণিতক 'algebra' বুলি কোৱা হয়। এই নাম আৰৱ দেশৰ পৰা অহা। ৮২৫ খ্ৰীষ্টাব্দত আৰৱ গণিতবিদ আল্ খোৱাৰিজমিয়ে 'আল-জব্র-ৱাল-মুকবলা' নামৰ গণিতৰ এখনগ্রন্থ ৰচনা কৰিছিলে। আৰবি ভাষাৰ 'আল-জব্র' তথা ফৰাছী ভাষাৰ 'মুকাবলা'ৰ অৰ্থ হৈছে সমীকৰণ। সম্ভৱ লেখকে আৰবি আৰু ফৰাছী ভাষাৰ 'সমীকৰণ'ৰ সমাৰ্থক নামদুটা যুক্ত কৰি 'আল-জব্র-ৱাল-মুকাবলা' নামটো ৰাখিছিল।