মিনিমেক্স উপপাদ্য

খেল সূত্ৰত মিনিমেক্স উপপাদ্য (ইংৰাজী: Minimax theorem) এনে এক উপপাদ্য যিয়ে সেই চৰ্তসমূহ প্ৰদান কৰে, যি চৰ্ত পূৰ্ণ হ'লে মিন-মেক্স অসমতা এটি সমতাও হয়। এই ধাৰণাৰে, এনে প্ৰথম উপপাদ্য হ'ল জন ভন নিউমেনৰ ১৯২৮ চনৰ মিনিমেক্স উপপাদ্য, যাক খেল সূত্ৰৰ আৰম্ভণি বুলিও অনেকে গণ্য কৰে। ভন নিউমেন আৰু মৰ্গেনষ্টাৰ্ণৰ গ্ৰন্থ "এ থিয়ৰি অৱ গেমছ এণ্ড ইকনমিক বিহেভিয়াৰ" (খেল আৰু অৰ্থনৈতিক আচৰণৰ এটি তত্ত্ব)তেই খেল সূত্ৰৰ জন্ম বুলি অনেকে মত প্ৰকাশ কৰে। এই প্ৰথম উপপাদ্যৰ পাছত অনেক গৱেষকে এই উপপাদ্যৰ কেইবাটাও সাধাৰণ ৰূপ প্ৰস্তুত কৰি উলিয়াইছে।

শূন্য যোগফলৰ খেল

The function f(x,y)=x²-y² is concave-convex.

মিনিমেক্স উপপাদ্য পোণপ্ৰথমে ১৯২৮ চনত জন ভন নিউমেনে প্ৰমাণ কৰিছিল আৰু ছপা কৰিছিল। তেওঁ কৈছিল "মই যিমান দূৰ চাওঁ, মিনিমেক্স উপপাদ্য অবিহনে.... খেল সূত্ৰৰ অস্তিত্ব অসম্বৱ.... এই উপপাদ্য প্ৰমাণ নোহোৱালৈকে মই ভাবিছিলোঁ ছপা কৰোৱাৰ যোগ্য একো নাই"।

আনুষ্ঠানিকভাৱে, ভন নিউমেনৰ মিনিমেক্স উপপাদ্যৰ মতে:

ধৰি লওক $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ আৰু $Y\subset \mathbb {R} ^{m}$ কম্পেক্ট আৰু উত্তল সংহতি। যদি $f:X\times Y\rightarrow \mathbb {R}$ এটি নিৰন্তৰ অৱতল-উত্তল ফলন, অৰ্থাৎ,

$f(\cdot ,y):X\rightarrow \mathbb {R}$ ফলন স্থায়ী $y$ৰ বাবে অৱতল, আৰু

$f(x,\cdot ):Y\rightarrow \mathbb {R}$ ফলন স্থায়ী $x$ৰ বাবে উত্তল,

তেন্তে আমি পাম,

$\max _{x\in X}\min _{y\in Y}f(x,y)=\min _{y\in Y}\max _{x\in X}f(x,y).$

উদাহৰণ

যদি খেলুৱৈৰ ওচৰত উপলব্ধ ৰণনীতিৰ সংখ্যা সসীম, অৰ্থাৎ উপযোগিতাৰ মৌলকক্ষ $A$ সসীম, তেন্তে সেই যদি সেই মৌলকক্ষৰ বাবে $f(x,y)=xAy^{T}$, তেন্তে, আমি পাওঁ:

$\max _{x\in X}\min _{y\in Y}xAy^{T}=\min _{y\in Y}\max _{x\in X}xAy^{T}$

যিকোনো মৌলকক্ষ $A$ ৰ বাবে।

লগতে চাওক

• নাশ্ব সাম্যাৱস্থা
• উপভোক্তা আচৰণ তত্ত্ব
• উৎপাদকৰ আচৰণৰ তত্ত্ব
• মাধ্যিকা মতদাতা উপপাদ্য