সমললৈ যাওক

সাংখ্যিক অংক

অসমীয়া ৱিকিপিডিয়াৰ পৰা

সাংখ্যিক অংক বা গণনাৰ অংক বা সংখ্যা অকলশৰীয়াকৈ (যেনে "১") বা সংমিশ্ৰণত (যেনে "১৫") ব্যৱহৃত একক চিহ্ন, বা সংখ্যা ব্যৱস্থাত সংখ্যাসমূহক প্ৰতিনিধিত্ব কৰিবলৈ এটা অৱস্থান। "অংক" নামটোৰ মূল Digit; ই লেটিন ভাষাৰ “ডিজিটি’’ অৰ্থাৎ হাতৰ দহটা আঙুলিৰ পৰা আহিছে,[1] সাধাৰণ ১০ ভূমিৰ সংখ্যা প্ৰণালীৰ দহটা চিহ্নৰ সৈতে মিল থকাৰ পৰাই "ডিজিট" নামটো আহিছে, অৰ্থাৎ দশমিক (প্ৰাচীন লেটিন বিশেষণ decem মানে দহ)[2] digits. সংখ্যা।

অখণ্ড সংখ্যা ভূমি বিশিষ্ট এটা নিৰ্দিষ্ট সংখ্যা প্ৰণালীৰ বাবে, প্ৰয়োজনীয় পৃথক পৃথক অংকসমূহৰ সংখ্যা ভূমিটোৰ পৰম মানৰ সমান। উদাহৰণস্বৰূপে, দশমিক প্ৰণালীত (ভূমি ১০) দহটা অংকৰ প্ৰয়োজন হয় (০ৰ পৰা ৯লৈকে), আনহাতে দ্বৈত প্ৰণালীত (ভূমি ২) দুটা অংকৰ প্ৰয়োজন হয় (০ আৰু ১)।

এটা সাধাৰণ অংকীয় প্ৰণালীত, সংখ্যা হৈছে অংকৰ ক্ৰম, যিবোৰ ইচ্ছাকৃত দৈৰ্ঘ্যৰ হ’ব পাৰে। ক্ৰমৰ প্ৰতিটো স্থানৰ এটা স্থানীয় মান থাকে, আৰু প্ৰতিটো অংকৰ এটা নিজা মান থাকে। সংখ্যাটোৰ মানটো সেই ক্ৰমৰ প্ৰতিটো অংকক তাৰ স্থানীয় মানেৰে পূৰণ কৰি আৰু ফলাফলসমূহৰ যোগফল উলিয়াই নিৰ্ণয় কৰা হয়। যেনে -

(৩×১০০)+(৫×১০)+(৮×১)=৩০০+৫০+৮=৩৫৮

সাংখ্যিক মান

[সম্পাদনা কৰক]

কোনো সংখ্যা প্ৰণালীৰ প্ৰতিটো অংকই এটা অখণ্ড সংখ্যাক প্ৰতিনিধিত্ব কৰে। উদাহৰণস্বৰূপে, দশমিক প্ৰণালীত "১" অংকটোৱে ''এক'' অখণ্ড সংখ্যাটোক বুজায়। আৰু হেক্সাডেচিমেল প্ৰণালীত "A" আখৰে দহ সংখ্যাটোক বুজায়। এটা অৱস্থানীয় সংখ্যা প্ৰণালীত, শূন্যৰ পৰা সংখ্যা প্ৰণালীটোৰ ভূমিলৈকে (ভূমিটো নোলোৱাকৈ) প্ৰতিটো অখণ্ড সংখ্যাৰ বাবে একোটা একক অংক থাকে।

এইদৰে অৱস্থানগত দশমিক প্ৰণালীত ০ ৰ পৰা ৯ লৈকে সংখ্যাবোৰক সোঁফালৰ "একক" অৱস্থানত যথাক্ৰমিক সংখ্যা "০" ৰ পৰা "৯" ব্যৱহাৰ কৰি প্ৰকাশ কৰিব পাৰি। ১২ সংখ্যাটোক এককৰ স্থানত "২" সংখ্যাটো ৰাখি আৰু "১" সংখ্যাটো "দহক"ৰ স্থানত, অৰ্থাৎ "২" ৰ বাওঁফালে ৰাখি প্ৰকাশ কৰিব পাৰি। আনহাতে ৩১২ সংখ্যাটো তিনিটা সংখ্যাৰে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি: "শতক" স্থানত "৩", "দহক"ৰ স্থানত "১", আৰু "একক"ৰ স্থানত "২"।

স্থানীয় মান নিৰ্ণয়

[সম্পাদনা কৰক]

দশমিক সংখ্যা ব্যৱস্থাত দশমিকক বিভাজক হিচাপে ব্যৱহাৰ কৰা হয়, সাধাৰণতে ইংৰাজীত এটা ফুট বা অন্য ইউৰোপীয় ভাষাত কমা,[3]"one place" বা "units place" বুজাবলৈ,[4][5][6] যাৰ স্থান মান এটা আছে। ইয়াৰ বাওঁফালে থকা প্ৰতিটো ক্ৰমাগত স্থানৰ স্থান মান পূৰ্বৰ অংকটোৰ স্থান মানৰ গুণ ভিত্তিৰ সমান। একেদৰে বিভাজকৰ সোঁফালে থকা প্ৰতিটো ক্ৰমাগত স্থানৰ স্থান মান পূৰ্বৰ অংকটোৰ স্থান মানৰ ভিত্তিৰে ভাগ কৰাৰ সমান হয়। উদাহৰণস্বৰূপে, ১০.৩৪ সংখ্যা(ভিত্তি ১০ত লিখা),

  • ০ দশমিক বিন্দুৰ বাওঁফালে থাকে, গতিকে ই এককৰ স্থানত থাকে, আৰু ইয়াক এককৰ ঘৰৰ অংক বুলি কোৱা হয়; [7][8][9]
  • ১ ৰ বাওঁফালে থকা ১টো দহকৰ স্থানত থাকে, আৰু ইয়াক দহকৰ ঘৰৰ অংক বুলি কোৱা হয়; [10]
  • ৩টো একক স্থানৰ সোঁফালে, গতিকে ই দশমাংশ স্থানত থাকে, আৰু ইয়াক দশমাংশ অংক বুলি কোৱা হয়; [11]
  • দশমাংশ স্থানৰ সোঁফালে থকা ৪টো শতাংশ স্থানত থাকে, আৰু ইয়াক শতাংশ অংক বোলা হয়।[11]

সংখ্যাটোৰ মুঠ মান ১ দহক, ০ একক, ৩ দশমাংশ, আৰু ৪ শতাংশ। সংখ্যাটোত কোনো মান অৰিহণা যোগোৱা শূন্যই বুজায় যে ১টো একক স্থানত নহয় দহকৰ স্থানত আছে।

সংখ্যাত যিকোনো অংকৰ স্থানীয় মান এটা সৰল গণনাৰ দ্বাৰা দিব পাৰি, যিটো নিজৰ বাবে সংখ্যা ব্যৱস্থাৰ আঁৰৰ যুক্তিৰ পৰিপূৰক। গণনাত প্ৰদত্ত সংখ্যাটোক ঘাত n − 1 দ্বাৰা উত্থাপন কৰা ভূমিৰে গুণ কৰা হয়, য'ত n য়ে বিভাজকৰ পৰা অংকটোৰ অৱস্থানক বুজায়; n ৰ মান ধনাত্মক (+), কিন্তু এইটো কেৱল তেতিয়াহে হয় যেতিয়া সংখ্যাটো বিভাজকৰ বাওঁফালে থাকে। আৰু সোঁফালে অংকটোক ঋণাত্মক (−) n ৰে উত্থাপিত ভিত্তিৰে গুণ কৰা হয়। উদাহৰণস্বৰূপে, ১০.৩৪ সংখ্যাত (ভূমি ১০),

১ বিভাজকৰ বাওঁফালে দ্বিতীয়, গতিকে গণনাৰ ভিত্তিত ইয়াৰ মান হ'ল;

the 4 is second to the right of the separator, so based on calculation its value is,

ইতিহাস

[সম্পাদনা কৰক]
পশ্চিমীয়া আৰবী 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
প্ৰাচ্য আৰবী ٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩
পাৰ্চী ۰ ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹
দেৱনাগৰী ० १ २ ३ ४ ५ ६ ७ ८ ९

প্ৰথম সত্য, লিখিত অৱস্থান সংখ্যা ব্যৱস্থাক হিন্দু–আৰবী সংখ্যা ব্যৱস্থা বুলি ধৰা হয়। এই ব্যৱস্থাটো ভাৰতত সপ্তম শতিকাৰ ভিতৰত প্ৰতিষ্ঠা কৰা হৈছিল[12], কিন্তু আধুনিক ৰূপত নাছিল, কাৰণ শূন্য সংখ্যাৰ ব্যৱহাৰ তেতিয়াও বহুলভাৱে গ্ৰহণ কৰা হোৱা নাছিল। শূন্যৰ পৰিৱৰ্তে কেতিয়াবা সংখ্যাবোৰৰ তাৎপৰ্য্য সূচাবলৈ বিন্দুৰে চিহ্নিত কৰা হৈছিল, বা স্থানধাৰী হিচাপে এটা স্থান ব্যৱহাৰ কৰা হৈছিল। শূন্যৰ প্ৰথম বহলভাৱে স্বীকৃতিপ্ৰাপ্ত ব্যৱহাৰ হৈছিল ৮৭৬ চনত।[13] মূল সংখ্যাবোৰ আধুনিক সংখ্যাবোৰৰ সৈতে বহুত মিল আছিল, আনকি সংখ্যাবোৰক প্ৰতিনিধিত্ব কৰিবলৈ ব্যৱহাৰ কৰা গ্লিফবোৰলৈকে।[12]

মায়া সভ্যতাৰ সাংখ্যিক ব্যৱস্থাৰ অংক

ত্ৰয়োদশ শতিকাৰ ভিতৰত ইউৰোপীয় গাণিতিক মহলত পশ্চিমীয়া আৰবী সংখ্যাবোৰ গ্ৰহণ কৰা হৈছিল (ফিবোনাচ্চিয়ে তেওঁৰ লিবাৰ এবাচিত সেইবোৰ ব্যৱহাৰ কৰিছিল)। ১৫ শতিকাৰ পৰাই ইহঁতে সাধাৰণ ব্যৱহাৰত প্ৰৱেশ কৰিবলৈ আৰম্ভ কৰে।[14] ২০ শতিকাৰ শেষৰ ফালে বিশ্বৰ প্ৰায় সকলো অকম্পিউটাৰাইজড গণনা আৰবী সংখ্যাৰে কৰা হৈছিল, যিয়ে বেছিভাগ সংস্কৃতিতে স্থানীয় সংখ্যা ব্যৱস্থাৰ ঠাই লৈছে।

সংখ্যা ব্যৱহাৰ কৰা অন্যান্য ঐতিহাসিক সংখ্যা ব্যৱস্থা

[সম্পাদনা কৰক]

মায়া সংখ্যাৰ সঠিক বয়স স্পষ্ট নহয় যদিও হিন্দু–আৰবী ব্যৱস্থাতকৈ ই পুৰণি হোৱাটো সম্ভৱ। এই ব্যৱস্থাটো আছিল ভিজেচিমেল (ভিত্তি সংখ্যা ২০), গতিকে ইয়াত বিশটা সংখ্যা আছে। মায়াসকলে শূন্যক বুজাবলৈ এটা খোলা চিহ্ন ব্যৱহাৰ কৰিছিল। সংখ্যাবোৰ উলম্বভাৱে লিখা হৈছিল, স্থানবোৰ তলত লিখা হৈছিল। মায়াসকলৰ আধুনিক দশমিক বিভাজকৰ সমতুল্য একো নাছিল, গতিকে তেওঁলোকৰ ব্যৱস্থাই ভগ্নাংশক প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব নোৱাৰিলে।

সংখ্যাক প্ৰতিনিধিত্ব কৰিবলৈ ব্যৱহাৰ কৰা চিহ্নৰ বাহিৰে থাই সংখ্যা ব্যৱস্থা হিন্দু–আৰবী সংখ্যা ব্যৱস্থাৰ সৈতে একে। এই সংখ্যাবোৰৰ ব্যৱহাৰ থাইলেণ্ডত এসময়ৰ তুলনাত কম যদিও এতিয়াও আৰবী সংখ্যাৰ কাষত ব্যৱহাৰ কৰা হয়।

চীন আৰু জাপানী গণিতজ্ঞসকলে এসময়ত ব্যৱহাৰ কৰা গণনাৰ দণ্ডৰ লিখিত ৰূপ দণ্ড সংখ্যা কেৱল শূন্যই নহয় ঋণাত্মক সংখ্যাকো প্ৰতিনিধিত্ব কৰিবলৈ সক্ষম হোৱা দশমিক অৱস্থানৰ ব্যৱস্থা। গণনাৰ দণ্ড নিজেই হিন্দু–আৰবী সংখ্যা ব্যৱস্থাৰ পূৰ্বৰ। চুঝৌ সংখ্যাবোৰ দণ্ড সংখ্যাতকৈ পৃথক।

Rod numerals (vertical)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
–0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9

আধুনিক সাংখ্যিক ব্যৱস্থা

[সম্পাদনা কৰক]

কম্পিউটাৰ বিজ্ঞানত

[সম্পাদনা কৰক]

কম্পিউটাৰ বিজ্ঞানত ব্যাপকভাৱে ব্যৱহৃত বাইনাৰী বা দ্বিচৰ (ভিত্তি ২), অক্টেল বা অষ্টক (ভিত্তি ৮) আৰু হেক্সাডেচিমেল (ভিত্তি ১৬) ব্যৱস্থাই হিন্দু-আৰবী সংখ্যা ব্যৱস্থাৰ নীতি-নিয়ম অনুসৰণ কৰে।[15] বাইনাৰী বা দ্বিচৰ ব্যৱস্থাই কেৱল "০" আৰু "১" সংখ্যা ব্যৱহাৰ কৰে, আনহাতে অষ্টক ব্যৱস্থাই "০"ৰ পৰা "৭"লৈকে সংখ্যা ব্যৱহাৰ কৰে। হেক্সাডেচিমেল ব্যৱস্থাই দশমিক ব্যৱস্থাৰ পৰা সকলো সংখ্যা ব্যৱহাৰ কৰে, লগতে "A"ৰ পৰা "F"লৈকে ১০ৰ পৰা ১৫ সংখ্যাক প্ৰতিনিধিত্ব কৰিবলৈ আখৰ ব্যৱহাৰ কৰে।[16] যেতিয়া বাইনাৰী ব্যৱস্থাপ্ৰণালী ব্যৱহাৰ কৰা হয়, "বিট(সমূহ)" শব্দটো সাধাৰণতে "অংক(সমূহ)"ৰ বিকল্প হিচাপে ব্যৱহাৰ কৰা হয়, "বাইনাৰী অংক" শব্দটোৰ এটা পৰ্টমেণ্ট।

অ-স্বাভাৱিক ব্যৱস্থা

[সম্পাদনা কৰক]

ত্ৰিগুণ আৰু সুষম ত্ৰিগুণ ব্যৱস্থাও কেতিয়াবা ব্যৱহাৰ কৰা হয়। দুয়োটা ব্যৱস্থাৰ ভিত্তি ৩।[17]

১, ০ আৰু –১ সংখ্যাৰ মান থকাটো অস্বাভাৱিক সুষম ত্ৰিত্ব। সুষম ত্ৰিত্বৰ কিছুমান উপযোগী বৈশিষ্ট্য আছে আৰু এই ব্যৱস্থাটো পৰীক্ষামূলক ৰাছিয়ান চেটুন কম্পিউটাৰত ব্যৱহাৰ কৰা হৈছে।[18]

যোৱা ৩০০ বছৰত কেইবাজনো লেখকে অৱস্থান সংকেতৰ সুবিধা লক্ষ্য কৰিছে, যিটো পৰিৱৰ্তিত দশমিক উপস্থাপনৰ সমান। ঋণাত্মক মানক প্ৰতিনিধিত্ব কৰা সংখ্যাগত সংখ্যাৰ ব্যৱহাৰৰ বাবে কিছুমান সুবিধা উল্লেখ কৰা হৈছে। ১৮৪০ চনত অগাষ্টিন-লুই ক'চিয়ে সংখ্যাৰ স্বাক্ষৰিত সাংখ্যিক উপস্থাপনৰ ব্যৱহাৰৰ পোষকতা কৰে আৰু ১৯২৮ চনত ফ্ল'ৰিয়ান কাজ'ৰীয়ে তেওঁৰ সংকলনত ঋণাত্মক সংখ্যাৰ বিষয়ে উপস্থাপন কৰে। কম্পিউটাৰ ডিজাইনতো স্বাক্ষৰিত সংখ্যাৰ প্ৰতিনিধিত্বৰ ধাৰণাটো গ্ৰহণ কৰা হৈছে।

গণিতত সংখ্যা

[সম্পাদনা কৰক]

সংখ্যাৰ বৰ্ণনাত সংখ্যাৰ অপৰিহাৰ্য ভূমিকা থকাৰ পিছতো আধুনিক গণিতৰ বাবে ই তুলনামূলকভাৱে অগুৰুত্বপূৰ্ণ।[19] তথাপিও কেইটামান গুৰুত্বপূৰ্ণ গাণিতিক ধাৰণা আছে, যিয়ে সংখ্যা এটাক সাংখ্যিক ক্ৰম হিচাপে প্ৰতিনিধিত্ব কৰে।

ডিজিটেল ৰুট

[সম্পাদনা কৰক]

ডিজিটেল ৰুট হ’ল কোনো এটা সংখ্যাৰ অংকৰ যোগফলৰ দ্বাৰা পোৱা একক সংখ্যাৰ সংখ্যা, তাৰ পিছত ফলাফলৰ অংকসমূহৰ যোগফল, এনেকৈয়ে, যেতিয়ালৈকে এটা অংকৰ সংখ্যা পোৱা নাযায়।[20]

প্ৰাচীন সংখ্যাৰ ইতিহাস

[সম্পাদনা কৰক]

গণনাৰ সহায়ক হোৱাকৈ বিশেষকৈ শৰীৰৰ অংগসমূহৰ ব্যৱহাৰ (আঙুলি পাবত কৰা গণনা) আজিৰ দৰে প্ৰাগঐতিহাসিক যুগতো নিশ্চয়কৈ ব্যৱহাৰ কৰা হৈছিল। ইয়াৰ বহুতো ধৰণ আছে। দহটা আঙুলিত গণনা কৰাৰ উপৰিও কিছুমান সংস্কৃতিত নুকুল, আঙুলি আৰু ভৰিৰ আঙুলিৰ মাজৰ ঠাইৰ লগতে আঙুলিও গণনা কৰা হৈছিল। নিউ গিনিৰ অক্সাপমিন সংস্কৃতিয়ে সংখ্যাক প্ৰতিনিধিত্ব কৰিবলৈ শৰীৰৰ ওপৰৰ ২৭টা স্থান ব্যৱহাৰ কৰে।[21]

সংখ্যাগত তথ্য সংৰক্ষণ কৰিবলৈ কাঠ, হাড় আৰু শিলত খোদিত চিহ্ন প্ৰাগঐতিহাসিক কালৰে পৰা ব্যৱহাৰ কৰা হয়।[22] প্ৰাচীন আমেৰিকাৰ খিলঞ্জীয়া গোটসমূহকে ধৰি প্ৰস্তৰ যুগৰ সংস্কৃতিসমূহে জুৱা, ব্যক্তিগত সেৱা আৰু বাণিজ্যিক সামগ্ৰীৰ বাবে টেলি ব্যৱহাৰ কৰিছিল।

মাটিৰ বস্তুত সংখ্যাগত তথ্য সংৰক্ষণৰ এটা পদ্ধতি চুমেৰিয়ানসকলে খ্ৰীষ্টপূৰ্ব ৮০০০ৰ পৰা ৩৫০০ চনৰ ভিতৰত উদ্ভাৱন কৰিছিল।[23] এই কামটো বিভিন্ন আকৃতিৰ সৰু সৰু মাটিৰ টোকেনেৰে কৰা হৈছিল, যিবোৰ ঠোঙাত গুটিৰ দৰে ভৰাই থোৱা হৈছিল। প্ৰায় খ্ৰীষ্টপূৰ্ব ৩৫০০ৰ পৰা মাটিৰ টোকেনৰ ঠাইত ক্ৰমান্বয়ে মাটিৰ ফলকত (প্ৰথমতে টোকেনৰ বাবে পাত্ৰ) বিভিন্ন কোণত ঘূৰণীয়া সাঁচৰ দ্বাৰা ছাপ কৰা সংখ্যাৰ চিন লগোৱা হৈছিল, যিবোৰ তাৰ পিছত পোৰা বা ধোঁৱা দি শুকুওৱা হৈছিল। প্ৰায় খ্ৰীষ্টপূৰ্ব ৩১০০ ত লিখিত সংখ্যাবোৰ গণনা কৰা বস্তুবোৰৰ পৰা বিচ্ছিন্ন হৈ বিমূৰ্ত সংখ্যাত পৰিণত হয়।

খ্ৰীষ্টপূৰ্ব ২৭০০ চনৰ পৰা ২০০০ চনৰ ভিতৰত চুমেৰত ঘূৰণীয়া সাঁচৰ ঠাইত ক্ৰমান্বয়ে নলীৰ সাঁচৰ ব্যৱহাৰ কৰা হয় যিটো মাটিত কুণ্ডলী আকৃতিৰ চিন চেপিবলৈ ব্যৱহাৰ কৰা হৈছিল। এই কিউনিফৰ্ম সংখ্যাৰ চিনবোৰ ইহঁতে সলনি কৰা ঘূৰণীয়া সংখ্যাৰ চিনবোৰৰ সৈতে মিল আছিল আৰু ঘূৰণীয়া সংখ্যাৰ চিনবোৰৰ যোগসূত্ৰ চিহ্ন-মূল্য সংকেত ধৰি ৰাখিছিল। এই ব্যৱস্থাবোৰ ক্ৰমান্বয়ে এটা সাধাৰণ চেক্সাজেচিমেল সংখ্যা ব্যৱস্থাত একত্ৰিত হৈছিল; এইটো এটা স্থান-মূল্য ব্যৱস্থা আছিল য'ত মাত্ৰ দুটা ছাপ দিয়া চিহ্ন আছিল, উলম্ব ৱেজ আৰু চেভ্ৰন, যিয়ে ভগ্নাংশকো প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব পাৰিছিল।[24] এই চেক্সাজেচিমেল সংখ্যা ব্যৱস্থাটো পুৰণি বেবিলন যুগৰ আৰম্ভণিতে (খ্ৰীষ্টপূৰ্ব ১৯৫০ চনত) সম্পূৰ্ণৰূপে বিকশিত হৈছিল আৰু বেবিলনত ই প্ৰামাণিক হৈ পৰিছিল।[25]

চেক্সাজেচিমেল সংখ্যা আছিল এটা মিশ্ৰিত ৰেডিক্স ব্যৱস্থা যিয়ে বিকল্প ভিত্তি ১০ আৰু ভিত্তি ৬ কিউনিফৰ্ম উলম্ব ৱেজ আৰু চেভ্ৰনৰ ক্ৰমত ধৰি ৰাখিছিল। খ্ৰীষ্টপূৰ্ব ১৯৫০ চনলৈকে এইটো এটা অৱস্থান সংকেত ব্যৱস্থা আছিল। বাণিজ্যত চেক্সাজেচিমেল সংখ্যাৰ বহুল ব্যৱহাৰ হ’বলৈ ধৰাৰ উপৰিও জ্যোতিৰ্বিজ্ঞান আৰু অন্যান্য গণনাতো ব্যৱহাৰ কৰা হ’ল। এই ব্যৱস্থাটো বেবিলনৰ পৰা ৰপ্তানি কৰা হৈছিল আৰু সমগ্ৰ মেছ'পটেমিয়াত ব্যৱহাৰ কৰা হৈছিল আৰু গ্ৰীক, ৰোমান আৰু মিচৰীয়াকে ধৰি বেবিলনৰ মানক জোখ আৰু গণনাৰ একক ব্যৱহাৰ কৰা প্ৰতিটো ভূমধ্যসাগৰীয় জাতিয়ে ব্যৱহাৰ কৰিছিল। বেবিলনীয় শৈলীৰ চেক্সাজেচিমেল গণনা এতিয়াও আধুনিক সমাজত সময় (প্ৰতি ঘণ্টাত মিনিট) আৰু কোণ (ডিগ্ৰী) জুখিবলৈ ব্যৱহাৰ কৰা হয়[26]।

আধুনিক সংখ্যাৰ ইতিহাস

[সম্পাদনা কৰক]

চীনত মৌলিক সংখ্যাৰ মডিউলাৰ টেলি ব্যৱহাৰ কৰি সেনা আৰু প্ৰদেশ গণনা কৰা হৈছিল। এই হিচাপৰ অনন্য সংমিশ্ৰণ হিচাপে অনন্য সংখ্যক সৈন্য আৰু ধানৰ জোখ-মাখ দেখা যায়। মডিউলাৰ গাণিতিকৰ এটা ডাঙৰ সুবিধা হ'ল, ইয়াক গুণ কৰাটো সহজ।[27] ইয়াৰ ফলত বিধানসমূহৰ বাবে মডিউলাৰ গাণিতিক ব্যৱহাৰ বিশেষভাৱে আকৰ্ষণীয় হয়। গতানুগতিক হিচাপবোৰ গুণ আৰু বিভাজন কৰাটো যথেষ্ট কঠিন। আধুনিক যুগত মডিউলাৰ গাণিতিক কেতিয়াবা ডিজিটেল সংকেত প্ৰক্ৰিয়াকৰণত ব্যৱহাৰ কৰা হয়।[28]

আটাইতকৈ পুৰণি গ্ৰীক ব্যৱস্থা আছিল আটিক সংখ্যাৰ( Attic numerals),[29] কিন্তু খ্ৰীষ্টপূৰ্ব চতুৰ্থ শতিকাত তেওঁলোকে quasidecimal বৰ্ণানুক্ৰমিক ব্যৱস্থা ব্যৱহাৰ কৰিবলৈ আৰম্ভ কৰে।[30] ইহুদীসকলেও একে ধৰণৰ ব্যৱস্থা (হিব্ৰু সংখ্যা) ব্যৱহাৰ কৰিবলৈ আৰম্ভ কৰে, ইয়াৰ আটাইতকৈ পুৰণি উদাহৰণসমূহ খ্ৰীষ্টপূৰ্ব ১০০ চনৰ মুদ্ৰা বুলি জনা যায়।[31]

ৰোমান সাম্ৰাজ্যই মাম, পেপিৰাছ আৰু শিলত লিখা টেলি ব্যৱহাৰ কৰিছিল আৰু মোটামুটিভাৱে গ্ৰীকসকলে বিভিন্ন সংখ্যাত আখৰ নিৰ্ধাৰণ কৰাৰ প্ৰথা অনুসৰণ কৰিছিল। ষোড়শ শতিকাত অৱস্থান সংকেত সাধাৰণ ব্যৱহাৰ নোহোৱালৈকে ইউৰোপত ৰোমান সংখ্যা ব্যৱস্থা সাধাৰণ ব্যৱহাৰ হৈ আছিল।[32]

মধ্য আমেৰিকাৰ মায়াসকলে সম্ভৱতঃ অলমেকৰ পৰা উত্তৰাধিকাৰী সূত্ৰে পোৱা মিশ্ৰিত ভিত্তি ১৮ আৰু ভিত্তি ২০ ব্যৱস্থা ব্যৱহাৰ কৰিছিল, য'ত অৱস্থান সংকেত আৰু শূন্যৰ দৰে উন্নত বৈশিষ্ট্যও আছিল।[33] তেওঁলোকে এই ব্যৱস্থাৰ সহায়ত সৌৰ বছৰৰ দৈৰ্ঘ্য আৰু শুক্ৰৰ কক্ষপথৰ অতি সঠিক গণনাকে ধৰি উন্নত জ্যোতিৰ্বিজ্ঞানৰ গণনা কৰিছিল।[34]

ইনকান সাম্ৰাজ্যই কুইপু ব্যৱহাৰ কৰি বৃহৎ কমাণ্ড ইকনমি চলাইছিল, যিটো ৰঙীন আঁহ গাঁঠি দি তৈয়াৰ কৰা টেলি আছিল।[35] গাঁঠি আৰু ৰঙৰ মিশ্ৰণৰ বিষয়ে জ্ঞান ষোড়শ শতিকাত স্পেনিছ বিজয়ীসকলে দখল কৰিছিল আৰু এণ্ডিয়ান অঞ্চলত এতিয়াও সৰল কুইপুৰ দৰে ৰেকৰ্ডিং যন্ত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰা হয় যদিও এতিয়াও জীয়াই থকা নাই।

কিছুমান কৰ্তৃপক্ষৰ মতে চীনত গণনাৰ ৰডৰ ব্যাপক ব্যৱহাৰৰ পৰাই পজিচনেল এৰিথমেটিক আৰম্ভ হৈছিল।[36] প্ৰাচীন লিখিত অৱস্থানৰ ৰেকৰ্ড চীনত প্ৰায় ৪০০ চনত ৰড কেলকুলাছৰ ফলাফল যেন লাগে। ভাৰতত প্ৰথমবাৰৰ বাবে শূন্য ব্যৱহাৰ কৰিছিল খ্ৰীষ্টীয় সপ্তম শতিকাত ব্ৰহ্মগুপ্তই। .[37]

আধুনিক অৱস্থানমূলক আৰবী সংখ্যা ব্যৱস্থা ভাৰতৰ গণিতজ্ঞসকলে বিকশিত কৰিছিল আৰু ৭৭৩ চনৰ আশে-পাশে ভাৰতৰ এজন ৰাষ্ট্ৰদূতে বাগদাদলৈ অনা জ্যোতিৰ্বিজ্ঞানৰ তালিকাৰ সৈতে মুছলমান গণিতজ্ঞসকলৰ হাতলৈ আগবঢ়াইছিল।[38]

ভাৰতৰ পৰা ইছলামিক চুলতান আৰু আফ্ৰিকাৰ মাজত হোৱা সমৃদ্ধিশালী বাণিজ্যই এই ধাৰণাটো কায়ৰোলৈ লৈ যায়। আৰবী গণিতজ্ঞসকলে এই ব্যৱস্থাটোক দশমিক ভগ্নাংশ অন্তৰ্ভুক্ত কৰিবলৈ সম্প্ৰসাৰিত কৰে আৰু মুহাম্মাদ ইবনে মুছা আল-ৱাৰিজমীয়ে নৱম শতিকাত ইয়াৰ বিষয়ে এটা গুৰুত্বপূৰ্ণ গ্ৰন্থ লিখিছিল।[39] দ্বাদশ শতিকাত স্পেইনত এই গ্ৰন্থখনৰ অনুবাদ আৰু ১২০১ চনৰ পিছাৰ লিঅ'নাৰ্ডোৰ লিবাৰ আবাচিৰ অনুবাদৰ লগে লগে ইউৰোপত আধুনিক আৰবী সংখ্যাসমূহৰ প্ৰৱৰ্তন কৰা হয়।[40] ইউৰোপত শূন্য থকা সম্পূৰ্ণ ভাৰতীয় ব্যৱস্থাটো দ্বাদশ শতিকাৰ আৰবসকলৰ পৰাই উদ্ভৱ হৈছিল।[41]


বাইনাৰী বা দ্বিচৰ ব্যৱস্থা (ভিত্তি ২) ১৭ শতিকাত গটফ্ৰাইড লাইবনিজে প্ৰচাৰ কৰিছিল।[42] লেইবনিজে নিজৰ কেৰিয়াৰৰ আৰম্ভণিতে এই ধাৰণাটো বিকশিত কৰিছিল আৰু চীনৰ পৰা অহা আই চিঙৰ এটা কপি পৰ্যালোচনা কৰাৰ সময়ত ইয়াক পুনৰ বিবেচনা কৰিছিল।[43] ২০ শতিকাত কম্পিউটাৰ প্ৰয়োগৰ বাবে বাইনাৰী সংখ্যাৰ সাধাৰণ ব্যৱহাৰ আৰম্ভ হয়[42]।

বেছিভাগ জনপ্ৰিয় ব্যৱস্থাত সংখ্যা

[সম্পাদনা কৰক]
পশ্চিম আৰৱী 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
অসমীয়া; বাংলা ০ ১ ২ ৩ ৪ ৫ ৬ ৭ ৮ ৯
দেৱনাগৰী ० १ २ ३ ४ ५ ६ ७ ८ ९
পূৱ আৰৱী ٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩
পাৰ্ছী ٠ ١ ٢ ٣ ۴ ۵ ۶ ٧ ٨ ٩
গুৰুমুখী ੦ ੧ ੨ ੩ ੪ ੫ ੬ ੭ ੮ ੯
চীনা (দৈনন্দিন) 〇 一 二 三 四 五 六 七 八 九
চীনা (পৰম্পৰাগত) 零 壹 貳 叄 肆 伍 陸 柒 捌 玖
চীনা (সৰলীকৃত) 零 壹 贰 叁 肆 伍 陆 柒 捌 玖
Chinese (Suzhou) 〇 〡 〢 〣 〤 〥 〦 〧 〨 〩
Ge'ez (Ethiopic) ፩ ፪ ፫ ፬ ፭ ፮ ፯ ፰ ፱
গুজৰাটী ૦ ૧ ૨ ૩ ૪ ૫ ૬ ૭ ૮ ૯
Hieroglyphic Egyptian 𓏺 𓏻 𓏼 𓏽 𓏾 𓏿 𓐀 𓐁 𓐂
জাপানী (everyday) 〇 一 二 三 四 五 六 七 八 九
জাপানী (formal) 零 壱 弐 参 四 五 六 七 八 九
কানাড়া ೦ ೧ ೨ ೩ ೪ ೫ ೬ ೭ ೮ ೯
Khmer (Cambodia) ០ ១ ២ ៣ ៤ ៥ ៦ ៧ ៨ ៩
Lao ໐ ໑ ໒ ໓ ໔ ໕ ໖ ໗ ໘ ໙
লিম্বু ᥆ ᥇ ᥈ ᥉ ᥊ ᥋ ᥌ ᥍ ᥎ ᥏
মালায়ালাম ൦ ൧ ൨ ൩ ൪ ൫ ൬ ൭ ൮ ൯
Mongolian ᠐ ᠑ ᠒ ᠓ ᠔ ᠕ ᠖ ᠗ ᠘ ᠙
Burmese ၀ ၁ ၂ ၃ ၄ ၅ ၆ ၇ ၈ ၉
Oriya ୦ ୧ ୨ ୩ ୪ ୫ ୬ ୭ ୮ ୯
ৰোমান I II III IV V VI VII VIII IX
Shan ႐ ႑ ႒ ႓ ႔ ႕ ႖ ႗ ႘ ႙
সিংহল 𑇡 𑇢 𑇣 𑇤 𑇥 𑇦 𑇧 𑇨 𑇩
তামিল ௦ ௧ ௨ ௩ ௪ ௫ ௬ ௭ ௮ ௯
তেলেগু ౦ ౧ ౨ ౩ ౪ ౫ ౬ ౭ ౮ ౯
থাই ๐ ๑ ๒ ๓ ๔ ๕ ๖ ๗ ๘ ๙
Tibetan ༠ ༡ ༢ ༣ ༤ ༥ ༦ ༧ ༨ ༩
New Tai Lue ᧐ ᧑ ᧒ ᧓ ᧔ ᧕ ᧖ ᧗ ᧘ ᧙
Javanese ꧐ ꧑ ꧒ ꧓ ꧔ ꧕ ꧖ ꧗ ꧘ ꧙

অতিৰিক্ত সংখ্যা

[সম্পাদনা কৰক]
১ ৫ ১০ ২০ ৩০ ৪০ ৫০ ৬০ ৭০ ৮০ ৯০ ১০০ ৫০০ ১০০০ ১০০০০ ১০৮
চীনা
(সাধাৰণ) 		一 五 十 二十 三十 四十 五十 六十 七十 八十 九十 百 五百 千 万 亿
চীনা
(জটিল) 		壹 伍 拾 贰拾 叁拾 肆拾 伍拾 陆拾 柒拾 捌拾 玖拾 佰 伍佰 仟 萬 億
গীয়েজ
(এথিঅ’পিক) 		፩ ፭ ፲ ፳ ፴ ፵ ፶ ፷ ፸ ፹ ፺ ፻ ፭፻ ፲፻ ፼ ፼፼
ৰোমান I V X XX XXX XL L LX LXX LXXX XC C D M X

তথ্য সূত্ৰ

[সম্পাদনা কৰক]
  1. ↑ ""Digit" Origin". dictionary.com. http://dictionary.reference.com/browse/digit?s=t। আহৰণ কৰা হৈছে: 23 May 2015. 
  2. ↑ ""Decimal" Origin". dictionary.com. http://dictionary.reference.com/browse/decimal?s=t। আহৰণ কৰা হৈছে: 23 May 2015. 
  3. ↑ Weisstein, Eric W.. "Decimal Point" (en ভাষাত). mathworld.wolfram.com. https://mathworld.wolfram.com/DecimalPoint.html। আহৰণ কৰা হৈছে: 2020-07-22. 
  4. ↑ Snyder, Barbara Bode (1991). Practical math for the technician : the basics. প্ৰকাশক Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall. পৃষ্ঠা. 225. ISBN 0-13-251513-X. OCLC 22345295. "units or ones place" 
  5. ↑ Andrew Jackson Rickoff (1888). Numbers Applied. D. Appleton & Company. পৃষ্ঠা. 5–. https://books.google.com/books?id=IYvSWIw3oxUC&pg=PA5. "units' or ones' place" 
  6. ↑ John William McClymonds; D. R. Jones (1905). Elementary Arithmetic. R.L. Telfer. পৃষ্ঠা. 17–18. https://books.google.com/books?id=xwYAAAAAYAAJ&pg=PA17. "units' or ones' place" 
  7. ↑ Richard E. Johnson; Lona Lee Lendsey; William E. Slesnick (1967). Introductory Algebra for College Students. Addison-Wesley Publishing Company. পৃষ্ঠা. 30. https://books.google.com/books?id=W4AXAQAAMAAJ. "units' or ones', digit" 
  8. ↑ R. C. Pierce; W. J. Tebeaux (1983). Operational Mathematics for Business. Wadsworth Publishing Company. পৃষ্ঠা. 29. ISBN 978-0-534-01235-9. https://books.google.com/books?id=ng11FOHjNmcC. "ones or units digit" 
  9. ↑ Max A. Sobel (1985). Harper & Row algebra one. Harper & Row. পৃষ্ঠা. 282. ISBN 978-0-06-544000-3. https://books.google.com/books?id=f3Y51BtCOKMC. "ones, or units, digit" 
  10. ↑ Max A. Sobel (1985). Harper & Row algebra one. Harper & Row. পৃষ্ঠা. 277. ISBN 978-0-06-544000-3. https://books.google.com/books?id=f3Y51BtCOKMC. "every two-digit number can be expressed as 10t+u when t is the tens digit" 
  11. ↑ 11.0 11.1 Taggart, Robert (2000). Mathematics. Decimals and percents. প্ৰকাশক Portland, Me.: J. Weston Walch. পৃষ্ঠা. 51–54. ISBN 0-8251-4178-8. OCLC 47352965. 
  12. ↑ 12.0 12.1 O'Connor, J. J. and Robertson, E. F. Arabic Numerals. January 2001. Retrieved on 2007-02-20.
  13. ↑ Bill Casselman (February 2007). "All for Nought". Feature Column. AMS. https://www.ams.org/featurecolumn/archive/india-zero.html. 
  14. ↑ Bradley, Jeremy. "How Arabic Numbers Were Invented". www.theclassroom.com. https://www.theclassroom.com/how-to-identify-numbers-on-brass-from-india-12082499.html। আহৰণ কৰা হৈছে: 2020-07-22. 
  15. ↑ Ravichandran, D. (2001-07-01) (en ভাষাত). Introduction To Computers And Communication. Tata McGraw-Hill Education. পৃষ্ঠা. 24–47. ISBN 978-0-07-043565-0. https://books.google.com/books?id=EHNOHAjXdQcC&q=octal. 
  16. ↑ "Hexadecimals". www.mathsisfun.com. https://www.mathsisfun.com/hexadecimals.html। আহৰণ কৰা হৈছে: 2020-07-22. 
  17. ↑ "Third Base". 2019-10-30. http://bit-player.org/wp-content/extras/bph-publications/AmSci-2001-11-Hayes-ternary.pdf। আহৰণ কৰা হৈছে: 2020-07-22. 
  18. ↑ "Development of ternary computers at Moscow State University. Russian Virtual Computer Museum". www.computer-museum.ru. https://www.computer-museum.ru/english/setun.htm। আহৰণ কৰা হৈছে: 2020-07-22. 
  19. ↑ Kirillov, A.A.. "What are numbers?". math.upenn.. পৃষ্ঠা: 2. https://www.math.upenn.edu/~kirillov/MATH480-S08/WN1.pdf. "True, if you open a modern mathematical journal and try to read any article, it is very probable that you will see no numbers at all." 
  20. ↑ Weisstein, Eric W.. "Digital Root" (en ভাষাত). mathworld.wolfram.com. https://mathworld.wolfram.com/DigitalRoot.html। আহৰণ কৰা হৈছে: 2020-07-22. 
  21. ↑ Saxe, Geoffrey B. (2012). Cultural development of mathematical ideas : Papua New Guinea studies. Esmonde, Indigo.. প্ৰকাশক Cambridge: Cambridge University Press. পৃষ্ঠা. 44–45. ISBN 978-1-139-55157-1. OCLC 811060760. "The Okspamin body system includes 27 body parts..." 
  22. ↑ Tuniz, C. (Claudio) (24 May 2016). Humans : an unauthorized biography. Tiberi Vipraio, Patrizia, Haydock, Juliet. প্ৰকাশক Switzerland. পৃষ্ঠা. 101. ISBN 978-3-319-31021-3. OCLC 951076018. "...even notches cut into sticks made out of wood, bone or other materials dating back 30,000 years (often referred to as "notched tallies")." 
  23. ↑ Ifrah, Georges (1985). From one to zero : a universal history of numbers. প্ৰকাশক New York: Viking. পৃষ্ঠা. 154. ISBN 0-670-37395-8. OCLC 11237558. "And so, by the beginning of the third millennium B.C., the Sumerians and Elamites had adopted the practice of recording numerical information on small, usually rectangular clay tablets" 
  24. ↑ (en ভাষাত) London Encyclopædia, Or, Universal Dictionary of Science, Art, Literature, and Practical Mechanics: Comprising a Popular View of the Present State of Knowledge; Illustrated by Numerous Engravings and Appropriate Diagrams. T. Tegg. 1845. পৃষ্ঠা. 226. https://books.google.com/books?id=qxP0yJa2G6oC&q=he+vertical+wedge+and+the+chevron&pg=PA226. 
  25. ↑ Neugebauer, O. (2013-11-11) (en ভাষাত). Astronomy and History Selected Essays. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-5559-8. https://books.google.com/books?id=v1bmBwAAQBAJ&q=sexagesimal+number+system+was+fully+developed+at+the+beginning+of+the+Old+Babylonia+period. 
  26. ↑ Powell, Marvin A. (2008). "Sexagesimal System". Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures. প্ৰকাশক Berlin/Heidelberg: Springer-Verlag. পৃষ্ঠা. 1998–1999. doi:10.1007/978-1-4020-4425-0_9055. ISBN 978-1-4020-4559-2. 
  27. ↑ Knuth, Donald Ervin (1998). The art of computer programming. প্ৰকাশক Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 0-201-03809-9. OCLC 823849. "The advantages of a modular representation are that addition, subtraction, and multiplication are very simple" 
  28. ↑ Echtle, Klaus; Hammer, Dieter; Powell, David (1994-09-21) (en ভাষাত). Dependable Computing - EDCC-1: First European Dependable Computing Conference, Berlin, Germany, October 4-6, 1994. Proceedings. Springer Science & Business Media. পৃষ্ঠা. 439. ISBN 978-3-540-58426-1. https://books.google.com/books?id=bzw15Ew_iOoC&q=modern+times+modular+arithmetic++digital+signal+processing.&pg=PA439. 
  29. ↑ Woodhead, A. G. (Arthur Geoffrey) (1981). The study of Greek inscriptions (2nd সম্পাদনা). প্ৰকাশক Cambridge: Cambridge University Press. পৃষ্ঠা. 109–110. ISBN 0-521-23188-4. OCLC 7736343. 
  30. ↑ Ushakov, Igor (22 June 2012) (en ভাষাত). In the Beginning Was the Number (2). Lulu.com. ISBN 978-1-105-88317-0. https://books.google.com/books?id=4cXOAwAAQBAJ&q=quasidecimal+alphabetic+system+greek&pg=PA17. 
  31. ↑ Chrisomalis, Stephen (2010). Numerical notation : a comparative history. প্ৰকাশক Cambridge: Cambridge University Press. পৃষ্ঠা. 157. ISBN 978-0-511-67683-3. OCLC 630115876. "The first safely dated instance in which the use of Hebrew alphabetic numerals is certain is on coins from the reign of Hasmonean king Alexander Janneus(103 to 76 BC)..." 
  32. ↑ Silvercloud, Terry David (2007) (en ভাষাত). The Shape of God: Secrets, Tales, and Legends of the Dawn Warriors. Terry David Silvercloud. পৃষ্ঠা. 152. ISBN 978-1-4251-0836-6. https://books.google.com/books?id=Zy-ODwAAQBAJ&q=Roman+numerals+system+remained+in+common+use&pg=PA152. 
  33. ↑ Wheeler, Ruric E.; Wheeler, Ed R. (2001), Modern Mathematics, Kendall Hunt, p. 130, ISBN 9780787290627, https://books.google.com/books?id=azSPh9SBwwEC&pg=PA130 .
  34. ↑ Swami, Devamrita (2002) (en ভাষাত). Searching for Vedic India. The Bhaktivedanta Book Trust. ISBN 978-0-89213-350-5. https://books.google.com/books?id=5JRdIkxETUsC&q=Maya+length+of+the+solar+year+and+the+orbit+of+Venus&pg=PT304. "Maya astronomy finely calculated both the duration of the solar year and the synodical revolution of Venus" 
  35. ↑ "Quipu | Incan counting tool" (en ভাষাত). Encyclopedia Britannica. https://www.britannica.com/technology/quipu। আহৰণ কৰা হৈছে: 2020-07-23. 
  36. ↑ Chen, Sheng-Hong (2018-06-21) (en ভাষাত). Computational Geomechanics and Hydraulic Structures. Springer. পৃষ্ঠা. 8. ISBN 978-981-10-8135-4. https://books.google.com/books?id=K3lhDwAAQBAJ&q=positional+arithmetic+began+with+the+wide+use+of+counting+rods+in+China&pg=PA8. "… definitely before 400 BC they possessed a similar positional notation based on the ancient counting rods." 
  37. ↑ "Foundations of mathematics – The reexamination of infinity" (en ভাষাত). Encyclopædia Britannica. https://www.britannica.com/science/foundations-of-mathematics। আহৰণ কৰা হৈছে: 2020-07-23. 
  38. ↑ (en ভাষাত) The Encyclopedia Britannica. 1899. পৃষ্ঠা. 626. https://books.google.com/books?id=uM0sRPoABq8C&q=astronomical+tables+brought+to+Baghdad+by+an+Indian+ambassador+around+773&pg=PA626. 
  39. ↑ Struik, Dirk J. (Dirk Jan) (1967). A concise history of mathematics (3d rev. সম্পাদনা). প্ৰকাশক New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60255-9. OCLC 635553. 
  40. ↑ Sigler, Laurence (2003-11-11) (en ভাষাত). Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano's Book of Calculation. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-40737-1. https://books.google.com/books?id=PilhoGJeKBUC&q=Leonardo+of+Pisa's+Liber+Abaci+of+1201. 
  41. ↑ Deming, David (2010). Science and technology in world history. Volume 1, The ancient world and classical civilization. প্ৰকাশক Jefferson, N.C.: McFarland & Co. পৃষ্ঠা. 86. ISBN 978-0-7864-5657-4. OCLC 650873991. 
  42. ↑ 42.0 42.1 Yanushkevich, Svetlana N. (2008). Introduction to logic design. Shmerko, Vlad P.. প্ৰকাশক Boca Raton: CRC Press. পৃষ্ঠা. 56. ISBN 978-1-4200-6094-2. OCLC 144226528. 
  43. ↑ Sloane, Sarah (2005). The I Ching for writers : finding the page inside you. প্ৰকাশক Novato, Calif.: New World Library. পৃষ্ঠা. 9. ISBN 1-57731-496-4. OCLC 56672043. 
"https://as.wikipedia.org/w/index.php?title=সাংখ্যিক_অংক&oldid=429041"ৰ পৰা অনা হৈছে