১ + ২ + ৪ + ৮ ⋯

গণিতত ১ + ২ + ৪ + ৮ ⋯ এটি অসীম শ্ৰেণী যাৰ পদসমূহ দুইৰ ক্ৰমিত ঘাতত আছে। গুণোত্তৰ শ্ৰেণী হিচাপে বৈশিষ্ট্য হ'ল, ইয়াৰ আদি পদ ১ আৰু সাধাৰণ অনুপাত ২। বাস্তৱ সংখ্যাৰ শ্ৰেণী হিচাপে ই অসীমলৈ অপসাৰিত, গতিকে সাধাৰণ যোগ হিচাপে ইয়াৰ কোনো যোগফল নাই। পিচে বহল অৰ্থত ক'বলৈ গ'লে ∞ৰ বাহিৰেও এই শ্ৰেণীৰ সৈতে -১ জড়িত।

যোগফল

১ + ২ + ৪ + ৮ ⋯ৰ আংশিক যোগফলসমূহ হৈছে ১, ৩, ৭, ১৫, …; যিহেতু এইসমূহ অসীমলৈ যায়, গতিকে শ্ৰেণীটোৱে অসীমলৈ অপসাৰিত। সেয়েহে যিকোনো সাধাৰণ যোগ কৰাৰ প্ৰক্ৰিয়াই এই শ্ৰেণীৰ উত্তৰ অসীম বুলি দিব, চেজাৰ' যোগ আৰু এবেল যোগক সামৰি। আনহাতে অন্ততঃ এটা সাধাৰণ দৰকাৰী প্ৰক্ৰিয়া আছে যিয়ে ১ + ২ + ৪ + ৮ + … শ্ৰেণীৰ যোগফল -১ বুলি দিয়ে। জড়িত [[ঘাত শ্ৰেণী]ৰ

$f(x)=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+\cdots +2^{n}{}x^{n}+\cdots ={\frac {1}{1-2x}}$

অভিসৰণৰ ব্যাসাৰ্ধ ¹/₂ৰহে ০ৰ কাষৰ। সেয়ে ই সেয়ে ই x = 1ৰে মিলিত নহয়। অথচ, সেইদৰে সংজ্ঞা লাভ কৰা ফাংচন fৰ জটিল সমতললৈ বিশ্লেষণমূলক ধাৰাবাহিকতা তেতিয়াহে দেখা যায় যেতিয়া x = ¹/₂ পইণ্ট বিলোপ কৰা হয়, আৰু এই কথা একেই নিয়ম f(x) = 1/(1 − 2x)এ দিয়ে। কাৰণ f(1) = −1, প্ৰকৃত ক্ৰম 1 + 2 + 4 + 8 + …ক যোগ কৰিব পৰা (E) বোলা হয়, আৰু -১ এই ক্ৰমৰ (E) যোগফল। (এই অংকপাতন জি এইচ হাৰ্ডিয়ে লিয়ন্হাৰ্ড অয়লাৰৰ অপসাৰী শ্ৰেণীৰ সম্পৰ্কীয় কামৰ উদ্ধৃতি দিয়াৰ বাবে ব্যৱহাৰ কৰা হৈছে)

আন এক প্ৰায় একেই ধৰণৰ প্ৰক্ৰিয়া আছে (যাক অয়লাৰে নিজেই ব্যৱহাৰ কৰিছিল)। এই প্ৰক্ৰিয়াত ঘাত শ্ৰেণী ব্যৱহাৰ কৰা হয় যাৰ গুণাংক ১।

$1+y+y^{2}+y^{3}+\cdots ={\frac {1}{1-y}}$

আৰু y = 2 বুলি গণ্য কৰি। নিশ্চয়ে দুয়োটা ক্ৰম y = 2xৰে সম্বন্ধিত।

এই সত্যই যে (E) চামেচনে 1 + 2 + 4 + 8 + … ক্ৰমক এটা সীমিত মূল্য প্ৰদান কৰে, এই কথাই দেখুৱাই যে সাধাৰণ প্ৰক্ৰিয়া সম্পূৰ্ণৰূপে নিয়মিত নহয়। আনহাতে, সেই প্ৰক্ৰিয়াত স্থায়িত্ব আৰু ৰৈখিকতাৰ দৰে ইচ্ছিত গুণ আছে। পিছৰ স্বতঃ সিদ্ধ সত্যই প্ৰকৃততে যোগফল -১ হ'বলৈ বাধ্য কৰে। কাৰণ ই তলৰ কাৰ্যসাধন যুক্তিসংগত কৰে:

${\begin{array}{rcl}s&=&\displaystyle 1+2+4+8+\cdots \\[1em]&=&\displaystyle 1+2(1+2+4+8+\cdots )\\[1em]&=&\displaystyle 1+2s\end{array}}$

এটি ব্যৱহাৰযোগ্য অৰ্থত, s = ∞ s = 1 + 2s. সমীকৰণৰ উত্তৰ। (যেনে ৰাইমেন গোলকত ∞ মবিয়াছ পৰিবৰ্তনৰ z → 1 + 2z দুটি নিৰ্দিষ্ট বিন্দুৰ এটি)। যদি কোনো প্ৰক্ৰিয়াই sৰ বাবে এটি সাধাৰণ উত্তৰ দিব পাৰে, অৰ্থাৎ ∞ নহয়, তাক সহজে নিৰ্ধাৰণ কৰিব পৰা যাব। এই ক্ষেত্ৰত sক দুয়োফালৰে পৰা বিয়োগ কৰিব পৰা যায়, 0 = 1 + s, সেয়ে s = −1.

ওপৰৰ কাৰ্যসাধনৰ পৰা -১ উত্তৰ পাব পৰা যায়, কোনো শ্কতিশালী চামেচন প্ৰক্ৰিয়া ব্যৱহাৰ নকৰাকৈ। প্ৰায়বোৰ সৰ্বজনবিদিত আৰু সহজবোধ্য যোগফলৰ ধাৰণাতেই, যাৰ ভিতৰত ফাণ্ডামেণ্টেল কন্ভাৰ্জেণ্টৰটো পৰে, এই কথা অসম্ভৱ যে যোগাত্মক ক্ৰম এটাৰ বিয়োগাত্মক মূল্যও থাকিব পাৰে। 1 − 1 + 1 − 1 + · · · ক্ৰমতো একে ধৰণৰ ফলাফল দেখা যায়, য'ত পূৰ্ণসংখ্যাৰ ক্ৰমৰ মূল্য অপূৰ্ণ সংখ্যা ¹⁄_{2</sub। ওলায়। এই উদাহৰণসমূহে একেই ধৰণৰ যুক্তি ০.১১১১...., ০.৯৯৯৯.... আদিত খটোৱাৰ বিপদ দেখুৱাই, বিশেষকৈ ০.৯৯৯৯....ৰ ক্ষেত্ৰত। এই যুক্তিসমূহে, যাক এক-কেন্দ্ৰাভিমুখী ক্ৰমত গ্ৰহণ কৰা হয়, 0.111… = ¹⁄9 , 0.999… = 1, আদি ফলাফল পাবলৈ। পিচে গাণিতিক প্ৰমাণে এনে অশেষ সংজ্ঞাৰ মূল্য নিৰ্ধাৰণত বিশেষ চকু ৰখাটো প্ৰয়োজনীয়।}

It is also possible to view this series as convergent in a number system different from the real numbers, namely, the 2-adic numbers. As a series of 2-adic numbers this series converges to the same sum, −1, as was derived above by analytic continuation.

তথ্য সংগ্ৰহ

• Euler, Leonhard (1760). "De seriebus divergentibus". Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae খণ্ড 5: 205–237. http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E247.html. 
• Gardiner, A. (2002) [1982]. Understanding infinity: the mathematics of infinite processes (Dover সম্পাদনা). Dover. ISBN 0-486-42538-X. 
• Hardy, G.H. (1949). Divergent Series. Clarendon Press. সাঁচ:LCC. 

লগতে পঢ়ক

• Barbeau, E.J., and P.J. Leah (May 1976). "Euler's 1760 paper on divergent series". Historia Mathematica খণ্ড 3 (2): 141–160. doi:10.1016/0315-0860(76)90030-6. 
• Ferraro, Giovanni (2002). "Convergence and Formal Manipulation of Series from the Origins of Calculus to About 1730". Annals of Science খণ্ড 59: 179–199. doi:10.1080/00033790010028179. 
• Kline, Morris (November 1983). "Euler and Infinite Series". Mathematics Magazine খণ্ড 56 (5): 307–314. doi:10.2307/2690371. 
• Sandifer, Ed (June 2006). "Divergent series" (PDF). How Euler Did It. MAA Online. http://www.maa.org/editorial/euler/How%20Euler%20Did%20It%2032%20divergent%20series.pdf. 
• Sierpińska, Anna (November 1987). "Humanities students and epistemological obstacles related to limits". Educational Studies in Mathematics খণ্ড 18 (4): 371–396. doi:10.1007/BF00240986.