১ + ২ + ৪ + ৮ ⋯

অসমীয়া ৱিকিপিডিয়াৰ পৰা
Jump to navigation Jump to search


গণিত১ + ২ + ৪ + ৮ ⋯ এটি অসীম ক্ৰম যাৰ প্ৰতিটো সংজ্ঞা দুইৰ ক্ৰমত থকা ঘাত। জ্যামিতিক ক্ৰম হিচাপে এই ক্ৰম ১ৰে আৰম্ভ হোৱা আৰু একেই বিভাজক ৰে পৰিচিত। বাস্তৱ সংখ্যাৰ ক্ৰম হিচাপে ই অসীমলৈকে যায়। সেই দেখি এই ক্ৰমৰ কোনো যোগফল নাই। পিচে এটি বহল অৰ্থত ক'বলৈ গ'লে ∞ৰ বাহিৰেও এই ক্ৰমৰ সৈতে -১ জড়িত।

যোগফল[সম্পাদনা কৰক]

১ + ২ + ৪ + ৮ ⋯ৰ আংশিক যোগফল 1, 3, 7, 15, …;, উত্তৰসমূহ অসীমলৈ যায়, ঠিক ক্ৰমটোৰ দৰেই। সেয়েহে যিকোনো সাধাৰণ যোগ কৰাৰ প্ৰক্ৰিয়াই এই ক্ৰমৰ উত্তৰ অসীম বুলি দিব, চেজাৰ' যোগ আৰু এবেল যোগক সামৰি।[1] আনহাতে অন্ততঃ এটা সাধাৰণ দৰকাৰী প্ৰক্ৰিয়া আছে যিয়ে 1 + 2 + 4 + 8 + … ক্ৰমৰ যোগফল -১ বুলি দিয়ে। জড়িত [[ঘাত ক্ৰম]ৰ

অভিসৰণৰ ব্যাসাৰ্ধ 1/2ৰহে ৰ কাষৰ। সেয়ে ই সেয়ে ই x = 1ৰে মিলিত নহয়। অথচ, সেইদৰে সংজ্ঞা লাভ কৰা ফাংচন fৰ জটিল সমতললৈ বিশ্লেষণমূলক ধাৰাবাহিকতা তেতিয়াহে দেখা যায় যেতিয়া x = 1/2 পইণ্ট বিলোপ কৰা হয়, আৰু এই কথা একেই নিয়ম f(x) = 1/(1 − 2x)এ দিয়ে। কাৰণ f(1) = −1, প্ৰকৃত ক্ৰম 1 + 2 + 4 + 8 + …ক যোগ কৰিব পৰা (E) বোলা হয়, আৰু -১ এই ক্ৰমৰ (E) যোগফল। (এই অংকপাতন জি এইচ হাৰ্ডিয়ে লিয়ন্হাৰ্ড ইউলাৰৰ বিপথগামী ক্ৰমৰ ওপৰত কামৰ উদ্ধৃতি দিয়াৰ বাবে ব্যৱহাৰ কৰা হৈছে)[2]

আন এক প্ৰায় একেই ধৰণৰ প্ৰক্ৰিয়া আছে (যাক ইউলাৰে নিজেই ব্যৱহাৰ কৰিছিল)। এই প্ৰক্ৰিয়াত ঘাত ক্ৰম ব্যৱহাৰ কৰা হয় যাৰ গুণাংক ১।

আৰু y = 2 বুলি গণ্য কৰি। নিশ্চয়ে দুয়োটা ক্ৰম y = 2xৰে সম্বন্ধিত।

এই সত্যই যে (E) চামেচনে 1 + 2 + 4 + 8 + … ক্ৰমক এটা সীমিত মূল্য প্ৰদান কৰে, এই কথাই দেখুৱাই যে সাধাৰণ প্ৰক্ৰিয়া সম্পূৰ্ণৰূপে নিয়মিত নহয়। আনহাতে, সেই প্ৰক্ৰিয়াত স্থায়িত্ব আৰু ৰৈখিকতাৰ দৰে ইচ্ছিত গুণ আছে। পিছৰ স্বতঃ সিদ্ধ সত্যই প্ৰকৃততে যোগফল -১ হ'বলৈ বাধ্য কৰে। কাৰণ ই তলৰ কাৰ্যসাধন যুক্তিসংগত কৰে:

এটি ব্যৱহাৰযোগ্য অৰ্থত, s = ∞ s = 1 + 2s. সমীকৰণৰ উত্তৰ। (যেনে ৰাইমেন গোলকত ∞ মবিয়াছ পৰিবৰ্তনz → 1 + 2z দুটি নিৰ্দিষ্ট বিন্দুৰ এটি)। যদি কোনো প্ৰক্ৰিয়াই sৰ বাবে এটি সাধাৰণ উত্তৰ দিব পাৰে, অৰ্থাৎ ∞ নহয়, তাক সহজে নিৰ্ধাৰণ কৰিব পৰা যাব। এই ক্ষেত্ৰত sক দুয়োফালৰে পৰা বিয়োগ কৰিব পৰা যায়, 0 = 1 + s, সেয়ে s = −1.[3]

ওপৰৰ কাৰ্যসাধনৰ পৰা -১ উত্তৰ পাব পৰা যায়, কোনো শ্কতিশালী চামেচন প্ৰক্ৰিয়া ব্যৱহাৰ নকৰাকৈ। প্ৰায়বোৰ সৰ্বজনবিদিত আৰু সহজবোধ্য যোগফলৰ ধাৰণাতেই, যাৰ ভিতৰত ফাণ্ডামেণ্টেল কন্ভাৰ্জেণ্টৰটো পৰে, এই কথা অসম্ভৱ যে যোগাত্মক ক্ৰম এটাৰ বিয়োগাত্মক মূল্যও থাকিব পাৰে। 1 − 1 + 1 − 1 + · · · ক্ৰমতো একে ধৰণৰ ফলাফল দেখা যায়, য'ত পূৰ্ণসংখ্যাৰ ক্ৰমৰ মূল্য অপূৰ্ণ সংখ্যা 12</sub। ওলায়। এই উদাহৰণসমূহে একেই ধৰণৰ যুক্তি ০.১১১১...., ০.৯৯৯৯.... আদিত খটোৱাৰ বিপদ দেখুৱাই, বিশেষকৈ ০.৯৯৯৯....ৰ ক্ষেত্ৰত। এই যুক্তিসমূহে, যাক এক-কেন্দ্ৰাভিমুখী ক্ৰমত গ্ৰহণ কৰা হয়, 0.111… = 19 , 0.999… = 1, আদি ফলাফল পাবলৈ। পিচে গাণিতিক প্ৰমাণে এনে অশেষ সংজ্ঞাৰ মূল্য নিৰ্ধাৰণত বিশেষ চকু ৰখাটো প্ৰয়োজনীয়।[4]

It is also possible to view this series as convergent in a number system different from the real numbers, namely, the 2-adic numbers. As a series of 2-adic numbers this series converges to the same sum, −1, as was derived above by analytic continuation.[5]

See also[সম্পাদনা কৰক]

Notes[সম্পাদনা কৰক]

  1. Hardy p.10
  2. Hardy pp.8, 10
  3. The two roots of s = 1 + 2s are briefly touched on by Hardy p.19.
  4. Gardiner pp. 93–99; the argument on p.95 for 1 + 2 + 4 + 8 + … is slightly different but has the same spirit.
  5. Koblitz, Neal (1984). p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions. Graduate Texts in Mathematics, vol. 58. Springer-Verlag. পৃষ্ঠা. chapter I, exercise 16, p. 20. ISBN 0-387-96017-1. 

References[সম্পাদনা কৰক]

Further reading[সম্পাদনা কৰক]