পূৰ্ণ সংখ্যা

যিবোৰ সংখ্যাৰ কোনো ভগ্নাংশ নাথাকে সেইবোৰক "পূৰ্ণ সংখ্যা" বা "অখণ্ড সংখ্যা" বোলা হয়। যেনে:- ১, -৭, ১৪ ইত্যাদি। ৯.৭৫, 5½, √2 আদি পূৰ্ণ সংখ্যা নহয়। পূৰ্ণসংখ্যাৰ সংখ্যা অসীম।

পূৰ্ণ সংখ্যাৰ সংহতিটো বুজাবলৈ ব্যৱহাৰ কৰা চিহ্ন

শূন্যক বাদ দি বাকী স্বাভাবিক সংখ্যাবোৰক "ধনাত্মক পূৰ্ণসংখ্যা" (ইংৰাজী: Positive Integers) বুলি কোৱা হয়। প্ৰত্যেক ধনাত্মক পূৰ্ণসংখ্যাৰ এটি আৰু একমাত্ৰ "ঋণাত্মক বিপৰীত" (ইংৰাজী: Negative Integers) সংখ্যা পোৱা যায়। এই দুই সংখ্যাৰ (ধনাত্মক আৰু ঋণাত্মক) যোগফল শূন্য হয়। ধনাত্মক পূৰ্ণসংখ্যাবোৰৰ ঋণাত্মক বিপৰীত সংখ্যাবোৰক কোৱা হয় ঋণাত্মক পূৰ্ণসংখ্যা।

ধনাত্মক পূৰ্ণসংখ্যা, ঋণাত্মক পূৰ্ণসংখ্যা আৰু শূন্য, এই তিনিপ্ৰকাৰৰ সংখ্যাবোৰক একেলগে "পূৰ্ণসংখ্যা বুলি কোৱা হয়।

পূৰ্ণ সংখ্যাৰ সংহতিটোক Z (বা $\mathbb{Z}$, ইউনিক'ডত U+2124 ℤ) ৰে বুজোৱা হয়। এই Z আখৰটো জাৰ্মান ভাষাৰ Zahlen (উচ্চাৰণ [ˈtsaːlən]) শব্দটোৰ পৰা আহিছে, ইয়াৰ অৰ্থ হ'ল সংখ্যা।

সংখ্যা ৰেখাডালত পূৰ্ণ সংখ্যাবোৰ পৰস্পৰে সম দূৰত্বত থাকে। অঋণাত্মক সংখ্যাসমূহ বেঙুনীয়া আৰু ঋণাত্মক সংখ্যাসমূহ ৰঙা অংশত দেখুওৱা হৈছে।

বীজগণিতীয় ধৰ্ম

স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সংহতিটোৰ দৰে পূৰ্ণ সংখ্যাৰ সংহতিটোও(Z) যোগ আৰু পূৰণৰ সাপেক্ষে আবদ্ধ, অৰ্থাৎ যিকোনো দুটা পূৰ্ণ সংখ্যা যোগ বা পূৰণ কৰিলে পুনৰ এটা পূৰ্ণ সংখ্যা পোৱা যায়। আনহাতে, Z বিয়োগৰ সাপেক্ষেও আবদ্ধ, কিন্তু হৰণৰ সাপেক্ষে আবদ্ধ নহয়, কাৰণ দুটা পূৰ্ণ সংখ্যাৰ হৰণফল এটা পূৰ্ণ সংখ্যা নহ’বও পাৰে, যেনে, ২ আৰু ৩ দুটা পূৰ্ণ সংখ্যা, কিন্তু সিহঁতৰ হৰণফল পূৰ্ণ সংখ্যা নহয়। আকৌ, স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সংহতিটো ঘাটৰ সাপেক্ষে আবদ্ধ, কিন্তু Z ঘাটৰ সাপেক্ষে আবদ্ধ নহয়, উদাহৰণস্বৰুপে, ২ ত ঘাট -১ ল’লে পূৰ্ণ সংখ্যা পোৱা নাযায়।

a, b আৰু c যিকোনো তিনিটা পূৰ্ণ সংখ্যা হ’লে সিহঁতৰ যোগফল আৰু পূৰণফল সম্পৰ্কীয় কেইটামান মৌলিক ধৰ্ম:

	যোগ	পূৰণ
Closure:	a + b   এটা পূৰ্ণ সংখ্যা	a × b   এটা পূৰ্ণ সংখ্যা
সহযোগ বিধি:	a + (b + c)  =  (a + b) + c	a × (b × c)  =  (a × b) × c
ক্ৰম বিনিময় বিধি:	a + b  =  b + a	a × b  =  b × a
Existence of an identity element:	a + 0  =  a	a × 1  =  a
বিপৰীত মৌল:	a + (−a)  =  0	বিপৰীত মৌল পোৱা নাযায়।
বিতৰণ বিধি:	a × (b + c) = (a × b) + (a × c)   আৰু    (a + b) × c = (a × c) + (b × c)
No zero divisors:		যদি a × b = 0, তেন্তে a = 0 বা b = 0 (বা দুয়োটাই শূন্য)

অন্যান্য ধৰ্ম

যদি ক, খ, গ তিনিটা অখণ্ড সংখ্যা হয় তেন্তে, সিহঁতে তলৰ নীতি কেইটা মানি চলে:

ক ≤ খ বা খ ≤ ক

যদি ক ≤ খ আৰু খ ≤ ক হয়, তেন্তে ক = খ হ’ব

যদি ক ≤ খ আৰু খ ≤ গ হয়, তেন্তে ক ≤ গ হ’ব

আনহাতে,

... −৩ < −২ < −১ < ০ < ১ < ২ < ৩ < ...

এটা অখণ্ড সংখ্যা শূন্যতকৈ ডাঙৰ হ’লে তাক ধণাত্মক অখণ্ড সংখ্যা, শূন্যতকৈ সৰু হ’লে তাক ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যা বোলা হয়। আৰু শূন্যটোক ধণাত্মক বা ঋণাত্মক কোনোটোতে ধৰা নহয়।

যোগ আৰু পূৰণৰ সাপেক্ষে অখণ্ড সংখ্যাৰ অসমতাৰ দিশ তলত দিয়া ধৰণে থাকে:

1. যদি ক < খ আৰু গ < ঘ, তেন্তে ক + গ < খ + ঘ
2. যদি ক < খ আৰু ০ < গ, তেন্তে কগ < খগ.

নিৰ্মাণ

ৰঙা বিন্দুসমূহে স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ ক্ৰমিত যোৰসমূহক নিৰ্দেশ কৰিছে। সংযুক্ত ৰঙা বিন্দুসমূহৰ শ্ৰেণী একোটাই তাৰ লগত যুক্ত হৈ থকা (নীলা ৰঙৰ) অখণ্ড সংখ্যাটোক বুজাইছে।

অখণ্ড সংখ্যাসমূহক স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ ক্ৰমিত যোৰ (a, b) ৰ সমতুল্য শ্ৰেণী (equivalence class) একোটাৰ সহায়ত গঠন কৰিব পাৰি।

ইয়াত ক্ৰমিত যোৰ (a, b) যে b ৰ পৰা a বিয়োগ কৰি পোৱা ফলক বুজায়। অৰ্থাৎ, 1 − 2 আৰু 4 − 5 যে একেটা সংখ্যাকে বুজাব। ইয়াৰ বাবে এটা সমতুল্য সম্বন্ধ (equivalence relation) ‘~’ৰ সংজ্ঞা তলত দিয়া ধৰণে দিয়া হয়:

$(a,b) \sim (c,d) \,\!$ যদিহে $a + d = b + c \,\!$ ।

ইয়াত অখণ্ড সংখ্যাৰ যোগ আৰু পূৰণক, স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগ আৰু পূৰণৰ সহায়েৰে সমতুল্য শ্ৰেণীসমূহৰ যোগ-পূৰণৰ জড়িয়তে সংজ্ঞা দিয়া হয়। ইয়াত [(a,b)] ৰ সহায়াৰে (a,b) ক্ৰমিত যোৰটো অন্তৰ্ভূক্ত হৈ কথা সমতুল্য শ্ৰেণীটোক বুজুৱা হয়। ইয়াৰ যোগ-পূৰণৰ প্ৰক্ৰিয়াকেইটা তলত দিয়া ধৰণৰ:

$[(a,b)] + [(c,d)] := [(a+c,b+d)].\,$

$[(a,b)]\cdot[(c,d)] := [(ac+bd,ad+bc)].\,$

অখণ্ড সংখ্যা এটাৰ ঋণাত্মক মান ক্ৰমিত যোৰটোৰ পদকেইটা সাল-সলনি কৰি পোৱা যায়:

$-[(a,b)] := [(b,a)].\,$

সেয়েহে দুটা অখণ্ড সংখ্যাৰ বিয়োগফলক তলত দিয়া ধৰণে নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি:

$[(a,b)] - [(c,d)] := [(a+d,b+c)].\,$

অখণ্ড সংখ্যাৰ অসমতাক তলত দিয়া ধৰণে বুজাব পৰা যায়:

$[(a,b)] < [(c,d)]\,$ iff $a+d < b+c.\,$

ইয়াৰ প্ৰতিটো সমতুল্য শ্ৰেণীতে (n,0) বা (0,n) ধৰণৰ একোটা একক ক্ৰমিত যোৰ অন্তৰ্ভূক্ত হৈ থাকে, য’ত n এটা স্বাভাৱিক সংখ্যা। [(n,0)] শ্ৰেণীটোৱে n ক আৰু [(0,n)] শ্ৰেণীটোৱে −n নিৰ্দেশ কৰে। আনহাতে [(0,0)] শ্ৰেণীটোৱে 0 নিৰ্দেশ কৰে, কাৰণ −0 = 0 ।

এনেদৰেই আমাৰ পৰিচিত অখণ্ড সংখ্যাৰ সংহতিটো পাব পাৰোঁ: {... −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...} ।

যেনে:

$\begin{align} 0 &= [(0,0)] &= [(1,1)] &= \cdots & &= [(k,k)] \\ 1 &= [(1,0)] &= [(2,1)] &= \cdots & &= [(k+1,k)] \\ -1 &= [(0,1)] &= [(1,2)] &= \cdots & &= [(k,k+1)] \\ 2 &= [(2,0)] &= [(3,1)] &= \cdots & &= [(k+2,k)] \\ -2 &= [(0,2)] &= [(1,3)] &= \cdots & &= [(k,k+2)] \end{align}$ ।

মাত্ৰা

পূৰ্ণ সংখ্যাৰ সংহতিটোৰ মাত্ৰা $\aleph_0$ ৰ সমান। অৰ্থাৎ Z ৰ পৰা N লৈ এটা একৈকী আৰু আচ্ছাদক ফলন পোৱা যায়। যদি N = {০, ১, ২, ...} ধৰা হয় তেন্তে তলৰ ফলনটো তেনে এটা ফলন।

$f(x) = \begin{cases} 2|x|, & \mbox{if } x < 0 \\ 0, & \mbox{if } x = 0 \\ 2x-1, & \mbox{if } x > 0. \end{cases}$

{ ... (-৪,৮), (-৩,৬), (-২,৪), (-১,২), (০,০), (১,১), (২,৩), (৩,৫), ... }

আৰু যদি N = {১, ২, ৩, ...} ধৰা হয় তেন্তে তলৰ ফলনটো তেনে এটা ফলন।

$g(x) = \begin{cases} 2|x|, & \mbox{if } x < 0 \\ 2x+1, & \mbox{if } x \ge 0. \end{cases}$

{ ... (-৪,৮), (-৩,৬), (-২,৪), (-১,২), (০,১), (১,৩), (২,৫), (৩,৭), ... }